Степень с рациональным показателем

Пусть $a > 0$ и $r = \dfrac{m}{n}$ , где $m \in \mathbb{Z}$ , $n \in \mathbb{N}$ . Тогда

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m.$

Почему $a > 0$ ? Это не формальность, а требование, необходимое для сохранения свойств степени и однозначности результата. Если разрешить отрицательные основания, возникают противоречия, как в примере:

$(-8)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2, \quad \text{но} \quad (-8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2.$

Хотя $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , результаты разные, потому что меняется тип корня (чётная/нечётная степень). В школьной алгебре, чтобы избежать неоднозначности, степень с рациональным показателем определяют только для положительных оснований.

Важное следствие: Выражение $x^{\frac{p}{q}}$ может иметь разную область определения в зависимости от формы записи дроби. Например, $x^{\frac{2}{4}}$ формально требует $\sqrt[4]{x^2}$ , что определено для всех $x$ , а $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ — только при $x \ge 0$ . Поэтому сокращать дробь в показателе можно только после анализа области определения.

Свойства степени с рациональным показателем

Для $a > 0$ , $b > 0$ и любых рациональных $r, s$ выполняются следующие свойства:

$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$

$\dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$

$(a^r)^s = a^{r \cdot s}$

$(ab)^r = a^r b^r$

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^r = \dfrac{a^r}{b^r}$

Эти свойства позволяют свободно преобразовывать выражения, сводя корни к степеням и наоборот. Однако важно помнить: они верны только при $a > 0$ , $b > 0$ .

Связь с показательной функцией

Степень с рациональным показателем — это «мост» между степенными и показательными функциями. Для фиксированного $a > 0$ функция $f(r) = a^r$ определена на множестве рациональных чисел $\mathbb{Q}$ . Она непрерывна и монотонна (возрастает при $a>1$ , убывает при $0<a<1$ ). Это позволяет далее расширить определение на все действительные числа через пределы.

Идея расширения на действительные показатели: Любое действительное число $x$ можно приблизить последовательностью рациональных чисел $r_n \to x$ . Тогда $a^x$ определяют как предел $a^{r_n}$ . Это возможно именно благодаря непрерывности $a^r$ на $\mathbb{Q}$ и условию $a > 0$ .

Пример 1.

Упростите: $\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x^5}$ , где $x > 0$ .

Решение:

Переведём корни в степени:

$x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{5}{6}} = x^{\frac{1}{3} + \frac{5}{6}} = x^{\frac{7}{6}}.$

Ответ: $x^{\frac{7}{6}}$ .

Пример 2.

Упростите: $\left(a^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{4}}\right)^{-4}$ , где $a > 0$ .

Решение:

Сначала упростим выражение в скобках:

$a^{-\frac{1}{2} + \frac{3}{4}} = a^{\frac{1}{4}}.$

Теперь возведём в степень $-4$ :

$\left(a^{\frac{1}{4}}\right)^{-4} = a^{-1} = \dfrac{1}{a}.$

Ответ: $\dfrac{1}{a}$ .

Пример 3.

Сравните: $16^{\frac{3}{4}}$ и $8^{\frac{4}{3}}$ .

Решение:

Приведём к одному основанию (оба числа — степени двойки):

$16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8,$

$8^{\frac{4}{3}} = (2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^4 = 16.$

Так как $8 < 16$ , то $16^{\frac{3}{4}} < 8^{\frac{4}{3}}$ .

Ответ: $16^{\frac{3}{4}} < 8^{\frac{4}{3}}$ .

Пример 4.

При каких значениях $x$ выражение $\left(x^2 - 4\right)^{\frac{3}{2}}$ имеет смысл?

Решение:

Показатель $\frac{3}{2}$ означает $\sqrt{(x^2 - 4)^3}$ . Чтобы корень чётной степени был определён, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$(x^2 - 4)^3 \ge 0 \Rightarrow x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow |x| \ge 2.$

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$ .