Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби

Обыкновенные дроби: ключевые правила

Обыкновенная дробь — это $\dfrac{a}{b}$ , где $a$ — числитель, $b$ — знаменатель ( $b \ne 0$ ).

Основное свойство дроби: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot k}{b \cdot k}$ при $k \ne 0$ .

Это свойство лежит в основе сокращения и приведения к общему знаменателю.

Действия с обыкновенными дробями

Операция	Формула	Пояснение
Сокращение	$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a : \text{НОД}(a,b)}{b : \text{НОД}(a,b)}$	Делим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.
Умножение	$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$	Перемножаем числители и знаменатели.
Деление	$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$	Умножаем на обратную дробь.
Сложение/вычитание	$\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}$ (или через НОК)	Приводим к общему знаменателю, затем складываем/вычитаем числители.

Десятичные дроби

Десятичная дробь — это дробь со знаменателем $10, 100, 1000$ и т. д. Например, $0{,}25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$ .

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Делим числитель на знаменатель. Результат будет:

Конечной десятичной дробью
Бесконечной периодической дробью.

Пример 1. $\dfrac{3}{8}=3 : 8 = 0{,}375$ .

Пример 2. $\dfrac{5}{6}=5 : 6 = 0{,}8333\ldots = 0{,}8(3)$ .

Проценты: перевод и типовые задачи

Процент — это сотая часть: $1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$ .

p\% = \dfrac{p}{100}

Типовые формулы для задач на проценты

Найти $p\%$ от числа $A$ : $A \cdot \dfrac{p}{100}$ .
Найти число по его проценту: если $p\%$ числа равны $B$ , то число равно $B : \dfrac{p}{100} = B \cdot \dfrac{100}{p}$ .
Процентное отношение: $\dfrac{A}{B} \cdot 100\%$ .
Увеличение на $p\%$ : $A \cdot (1 + \dfrac{p}{100})$ .
Уменьшение на $p\%$ : $A \cdot (1 - \dfrac{p}{100})$ .

Пример (скидка)
Цена товара $2000$ рублей, скидка $15\%$ . Новая цена: $2000 \cdot (1 - 0{,}15) = 2000 \cdot 0{,}85 = 1700$ рублей.

Пример (последовательные изменения)
Число увеличили на $20\%$ , затем уменьшили на $20\%$ . Пусть исходное число $A$ .
После увеличения: $A \cdot 1{,}2$ . После уменьшения: $A \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = A \cdot 0{,}96$ .
Итог: число уменьшилось на $4\%$ .

Бесконечные периодические дроби

Бесконечная периодическая дробь — десятичная дробь, в которой одна или несколько цифр повторяются бесконечно. Период обозначают в скобках: $0{,}(3) = 0{,}333\ldots$ , $0{,}1(6) = 0{,}1666\ldots$ .

Алгоритм перевода периодической дроби в обыкновенную

Если дробь чистая периодическая (период начинается сразу после запятой):
$0{,}(a_1 a_2 \ldots a_k) = \dfrac{a_1 a_2 \ldots a_k}{\underbrace{99\ldots9}_{k\text{ девяток}}}$ .
Если есть предпериод (цифры до начала периода):
$0{,}b_1 \ldots b_m (a_1 \ldots a_k) = \dfrac{b_1 \ldots b_m a_1 \ldots a_k - b_1 \ldots b_m}{\underbrace{99\ldots9}_{k}\underbrace{00\ldots0}_{m}}$ .

Пример 1 (чистый период): $0{,}(45) = \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}$ .
Пример 2 (с предпериодом): $0{,}1(6)$ . Здесь $m=1$ , $k=1$ :
$\dfrac{16 - 1}{90} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}$ .
Пример 3 (смешанное число): $3{,}1(73) = 3 + 0{,}1(73)$ .
$0{,}1(73) = \dfrac{173 - 1}{990} = \dfrac{172}{990} = \dfrac{86}{495}$ .
Итого: $3 + \dfrac{86}{495}$ .