Дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Дисперсия показывает, насколько значения случайной величины разбросаны вокруг её среднего (математического ожидания). Если среднее — это «куда мы целимся», то дисперсия — «насколько сильно мы мажем».

Пример 1 (дротики).
Ты кидаешь дротики в мишень. Иногда попадаешь в десятку, иногда в пятёрку, а иногда вообще мимо. Это большая дисперсия: результаты сильно скачут.
Если же почти всегда попадаешь в один и тот же сектор — дисперсия маленькая: разброс небольшой.

Пример 2 (оценки учеников).
У двух учеников средний балл 4. У первого оценки: 4, 4, 4, 4. У второго: 3, 3, 5, 5.
Средние одинаковые, но у второго ученика результаты менее стабильны — его дисперсия больше.

Формально дисперсия случайной величины $X$ определяется как:

$D[X] = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}[X])^{2}\right]$

На практике чаще используют удобную формулу для расчётов:

$D[X] = \mathbb{E}[X^{2}] - (\mathbb{E}[X])^{2}$

Почему возводят в квадрат?
Отклонения от среднего бывают и в минус, и в плюс. Если просто усреднять отклонения, они могут сократиться и дать ноль. Квадрат делает все отклонения положительными, и тогда среднее значение квадратов показывает реальный разброс.

Важно: дисперсия измеряется в квадратах единиц, поэтому для интуитивной оценки разброса используют стандартное (среднеквадратическое) отклонение: $\sigma[X] = \sqrt{D[X]}$ .