Арифметическая прогрессия — Царство математики

Определение

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из первого добавлением к нему постоянного числа. Данное постоянное число называют разностью арифметической прогрессии.

$n$ -ый элемент арифметической прогрессии

Чтобы найти $n$ -ый элемент, нужно к $(n-1)$ элементу прибавить разность арифметической прогрессии.

$a_n=a_{n-1}+d,$

где $d$ — разность арифметической прогрессии, $a_i$ — $i$ -ый элемент арифметической прогрессии.

Выразим $n$ -ый элемент арифметической прогрессии через первый член и разность прогрессии.

$a_{2}=a_{1}+d$

$a_{3}=a_{2}+d=a_1+d+d=a_1+2d$

$a_{4}=a_{3}+d=a_1+2d+d=a_1+3d$

$\ldots$

Получаем, что

$a_n=a_1+d(n-1).$

Пример 1. Найти $10$ -ый элемент арифметической прогрессии, если её первый элемент равен $2$ , а разность $0,5$ .

Решение.

$a_{10}=a_1+d(10-1)=2+0,5(10-1)=2+4,5=6,5.$

Ответ: $6,5$ .

Пример 2. Найти разность арифметической прогрессии, если пятый элемент прогрессии равен $15$ , а $10$ -ый — $18$ -ти.

Решение.

$a_5=a_1+4d$

$a_{10}=a_1+9d$

Вычтем из второго уравнения первое: $a_{10}-a_5=a_1-a_1+9d-4d.$

$d=\frac{a_{10}-a_5}{9-4}=\frac{18-15}{5}=\frac{3}{5}=0,6.$

Ответ: $0,6$ .

Сумма арифметической прогрессии

Чтобы найти сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно воспользоваться следующими формулами:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n;$

$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$

Докажем первую формулу.

$S_n=a_1+a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}$

$S_n=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+\ldots+a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}$

Сложим почленно два последних равенства.

Получаем,

$S_n+S_n=a_1+a_{n}+a_{2}+a_{n-1}+\ldots +a_2+a_{n-1}+a_1+a_n$

Так как, $a_k+a_{n-(k-1)}=a_1+d(k-1)+a_n-d(k-1)=a_1+a_n,$ то $2 \cdot S_n=(a_1+a_n) \cdot n.$

Следовательно,

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$

Пример 3. Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.

Решение.

$1+2+3+\ldots+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)=101 \cdot 50=5050.$

Ответ: $5050$ .

Пример 4. Первый элемент арифметической прогрессии равен $15$ , а разность арифметической прогрессии равна $2$ . Найдите сумму первых $10$ элементов данной арифметической прогрессии.

Решение.

$S_10=\frac{2 \cdot 15+2(10-1)}{2}\cdot 10 =(30+18)\cdot 5=48\cdot 5=240.$

Ответ: $240$ .

Пример 5. Арине надо решить $270$ задач по геометрии. Ежедневно она решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что в первый день она решила $10$ задач, а в последний она запланировала решить $17$ задач. Определите за сколько дней она решит все задачи.