Делители и кратные числа, разложение числа на множители. Деление с остатком. Простые и составные числа. Решето Эратосфена. Совершенные числа.

Делитель

Делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Обозначение: 2|10 (2 является делителем 10) или (10 делится на 2 без остатка).

Например: .

Число 1 является делителем любого натурального числа.

Кратное

Кратным натурального числа a называют натуральное число, которое делится без остатка на a.

КРАТНО=ДЕЛИТСЯ

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

Например: (27 кратно 3).

Деление с остатком

Деление одного натурального числа на другое меньшее его число нацело не всегда возможно. Но разделить с остатком можно всегда.

ДЕЛИМОЕ=ДЕЛИТЕЛЬ·(НЕПОЛНОЕ ЧАСТНОЕ)+ОСТАТОК

Например, 32:3=10 (ост. 2) или 32=3·10+2.

Разложение числа на множители

Простое число — число, имеющее только два делителя (1 и само это число). Например: 2, 5, 7. 

Составное число — число, имеющее более двух делителей. Например: 6, 8, 10.

Число 1 не относят ни к простым, ни к составным.

Любое составное число можно разложить на простые множители, причём единственным образом (если не учитывать порядок записи множителей).

Например: 12=2·2·3.

Решето Эратосфена

Решето Эратосфена – это алгоритм нахождения простых чисел меньшие или равные заданного натурального числа путем постепенного отсеивания составных чисел. Образно говоря, через решето Эратосфена в процессе его тряски проскакивают составные числа, а простые остаются в решете.

Алгоритм:

Принять n=2.

1. Выписать все натуральные числа от 2 по заданное натуральное число.
2. Обвести первое не зачеркнутое и не обведенное число.
3. Вычеркнуть все числа кратные n, кроме обведенного.
4. Увеличить n на 1. Повторить последовательно пункты 2-4 пока не останется не зачеркнутых и не обведенных чисел.

Полученные таким образом обведенные числа — простые числа по заданное натуральное число.

Например: Найдем все простые числа меньшие или равные 10.  

1. Выпишем все натуральные числа от 2 по 10: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
2. Обведем 2: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
3. Вычеркнем все числа, кратные 2: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
4. Обведем первое не зачеркнутое и не обведенное число: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
5. Вычеркнем все числа, кратные 3: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
6. Обведем первое не зачеркнутое и не обведенное число: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
7. Вычеркнем все числа, кратные 4: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Их нет. Просто продолжаем алгоритм.
8. Обведем первое не зачеркнутое и не обведенное число: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
9. Все числа или обведены или зачеркнуты. 2, 3, 5 и 7 — искомые простые числа.

Совершенное число

Число, равное сумме всех его делителей называется совершенным числом.

Например, 6=1+2+3 — совершенное число.

Напишите в комментарии те совершенные числа, которые вы знаете.