Делимость. – Царство математики

Определение

Целое число $a$ делится на целое число $b$ , если существует такое целое число $n$ , что $a=nb$ .

Обозначение: $a \vdots b.$ Говорят, что $a$ кратно $b$ , а $b$ делитель $a$ .

Основные свойства делимости

$\forall a, a \vdots 1, a \vdots (-1), a \vdots a, a \vdots (-a).$
Если $a \vdots c$ и $b \vdots c,$ то $(a+b) \vdots c$ и $(a-b) \vdots c$ .
Если $a \vdots b$ и $b \vdots c$ , то $a \vdots c$ .
Если в равенстве $a_1+a_2 + \ldots +a_k =b_1+b_2+\ldots+b_k+Q, \forall i\in \left \{ 1,2, \ldots,k \right \} a_i \vdots d$ и $b_i \vdots d$ , то $Q \vdots d$ .

Теорема о делении с остатком

Всякое целое $a$ представляется единственным способом с помощью целого $b \neq 0$ равенством вида $a=bq+r,$ где $q, r$ — целые, $0\leqslant r< \left | b \right |$ . Число $q$ называется частным, $r$ — остатком от деления $a$ на $b$ .

Пример 1. Найдите все натуральные числа, при делении которых на $7$ в частном получится то же число, что и в остатке.

Решение.

По условию задачи остаток равен частному: $x=7q+r=7r+r=8r.$

По теореме о делении с остатком: $0\leqslant r< \left | 7 \right |$ . Следовательно, $r \in \left \{0,1,2,3,4,5,6 \right \}$ .

Получаем: $8 \cdot 0=0, 8 \cdot 1=8, 8 \cdot 2=16, 8 \cdot 3=24, 8 \cdot 4=32, 8 \cdot 5=40, 8 \cdot 6=48.$

Из полученных чисел выбираем натуральные и записываем в ответ.

Ответ: $8, 16, 24, 32, 40, 48.$

Пример 2. Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на $5$ . Докажите, что каждое из данных чисел делится на $5$ .

Решение.

Пусть $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ — данные натуральные числа.

$S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7$ .

По условию задачи сумма каждых $6$ делится на $5$ .

Следовательно, $S-x_1 \vdots 5, S-x_2 \vdots 5, \ldots, S-x_7 \vdots 5.$

$S-x_1 + S-x_2 + \ldots + S-x_7 = 7S-(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7)=$

$=7S-S=6S.$

Следовательно, $S \vdots 5$ и $\forall i \in \left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \} S-(S-x_i)=x_i \vdots 5.$

Получается, что каждое данное число делится на $5.$

Тренировочные задания

Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на $6$ .
Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.
Сумма двух натуральных чисел равна $201$ . Докажите, что произведение этих чисел не может делиться на $201$ .
$a + 1$ делится на $3$ . Докажите, что $4 + 7a$ делится на $3$ .
$2 + a$ и $35 - b$ делятся на $11$ . Докажите, что $a + b$ делится на $11$ .
Для некоторых целых $x$ и $y$ число $3x + 2y$ делится на $23$ . Докажите, что число $17x + 19y$ также делится на $23$ .
Известно, что выражение $14x + 13y$ делится на $11$ при некоторых целых $x$ и $y$ . Докажите, что $19x + 9y$ также делится на $11$ при таких $x$ и $y$ .
Найдите все натуральные $n > 1$ , для которых $n^3 - 3$ делится на $n - 1$ .
Докажите, что при любом натуральном $n$ число $n^2 + 8n + 15$ не делится на $n + 4$ .
Пусть $a$ и $b$ – целые числа. Докажите, что если $a^2 + 9ab + b^2$ делится на $11$ , то и $a^2 - b^2$ делится на $11$ .