Делимость — Coursemath.ru

Определение

Целое число $a$ делится на целое число $b$ , если существует такое целое число $n$ , что $a=nb$ .

Обозначение: $a \vdots b.$ Говорят, что $a$ кратно $b$ , а $b$ делитель $a$ .

Основные свойства делимости

$\forall a, a \vdots 1, a \vdots (-1), a \vdots a, a \vdots (-a).$
Если $a \vdots c$ и $b \vdots c,$ то $(a+b) \vdots c$ и $(a-b) \vdots c$ .
Если $a \vdots b$ и $b \vdots c$ , то $a \vdots c$ .
Если в равенстве $a_1+a_2 + \ldots +a_k =b_1+b_2+\ldots+b_k+Q, \forall i\in \left \{ 1,2, \ldots,k \right \} a_i \vdots d$ и $b_i \vdots d$ , то $Q \vdots d$ .

Теорема о делении с остатком

Всякое целое $a$ представляется единственным способом с помощью целого $b \neq 0$ равенством вида $a=bq+r,$ где $q, r$ — целые, $0\leqslant r< \left | b \right |$ . Число $q$ называется частным, $r$ — остатком от деления $a$ на $b$ .

Пример 1. Найдите все натуральные числа, при делении которых на $7$ в частном получится то же число, что и в остатке.

Решение.

По условию задачи остаток равен частному: $x=7q+r=7r+r=8r.$

По теореме о делении с остатком: $0\leqslant r< \left | 7 \right |$ . Следовательно, $r \in \left \{0,1,2,3,4,5,6 \right \}$ .

Получаем: $8 \cdot 0=0, 8 \cdot 1=8, 8 \cdot 2=16, 8 \cdot 3=24, 8 \cdot 4=32, 8 \cdot 5=40, 8 \cdot 6=48.$

Из полученных чисел выбираем натуральные и записываем в ответ.

Ответ: $8, 16, 24, 32, 40, 48.$

Пример 2. Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на $5$ . Докажите, что каждое из данных чисел делится на $5$ .

Решение.

Пусть $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ — данные натуральные числа.

$S=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7$ .

По условию задачи сумма каждых $6$ делится на $5$ .

Следовательно, $S-x_1 \vdots 5, S-x_2 \vdots 5, \ldots, S-x_7 \vdots 5.$

$S-x_1 + S-x_2 + \ldots + S-x_7 = 7S-(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7)=$

$=7S-S=6S.$

Следовательно, $S \vdots 5$ и $\forall i \in \left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \} S-(S-x_i)=x_i \vdots 5.$

Получается, что каждое данное число делится на 5.

Тренировочные задания

Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.
Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.
Сумма двух натуральных чисел равна 201. Докажите, что произведение этих чисел не может делиться на 201.
$a + 1$ делится на $3$ . Докажите, что $4 + 7a$ делится на $3$ .
$2 + a$ и $35 - b$ делятся на $11$ . Докажите, что $a + b$ делится на $11$ .
Для некоторых целых $x$ и $y$ число $3x + 2y$ делится на $23$ . Докажите, что число $17x + 19y$ также делится на $23$ .
Известно, что выражение $14x + 13y$ делится на $11$ при некоторых целых $x$ и $y$ . Докажите, что $19x + 9y$ также делится на $11$ при таких $x$ и $y$ .
Найдите все натуральные $n > 1$ , для которых $n^3 - 3$ делится на $n - 1$ .
Докажите, что при любом натуральном $n$ число $n^2 + 8n + 15$ не делится на $n + 4$ .
Пусть $a$ и $b$ – целые числа. Докажите, что если $a^2 + 9ab + b^2$ делится на $11$ , то и $a^2 - b^2$ делится на $11$ .