Элементы комбинаторики. Перестановки.

Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов.

В перестановках элементы только переставляют. Поменяв местами любые два элемента множества, мы получим новую перестановку. Количество возможных перестановок множества из $n$ элементов обозначают: $P_n$ .

$P_{n}=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot...\cdot1=n!$

$n!$ – произведение n первых натуральных чисел (читается как “эн факториал”)

Замечание: Пустое множество можно упорядочить только одним способом. Полагают, что $0!=1$ .

Задача 1. Сколько различных способов выстроиться в ряд компании из 6 человек?

Решение.

$P_{6}=6\cdot(6-1)\cdot(6-2)\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-5)=6!=720$

Ответ: $720$ .

Задача 2. Сколько различных чисел можно составить из цифр 1, 2 и 3? Цифры не могут повторяться.

Решение.

$P_{3}=3\cdot(3-1)\cdot(3-2)=6$

Ответ: 6.

Выше предполагалось, что все элементы различны. Если же некоторые элементы повторяются, то необходимо пользоваться следующей формулой:

$P_{n}(n_{1},n_{2},n_{3},...,n_{k})=\frac{n!}{n_1!\cdot n_{2}!n_{3}!\cdot...\cdot n_{k}!}$

Задача 3. Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове: М,А,Т,Е,М,А,Т,И,К,А?

Решение. Количество букв равно 10. Буква М повторяется 2 раза, буква А — 3 раза, буква Т — 2 раза, буквы И и К по одному разу.

$P_{10}(2,3,2,1,1)=\frac{10!}{2!\cdot3!\cdot2!\cdot1!\cdot1!}=151200$

Ответ: $151200$ .