Элементы тригонометрии: основные понятия и задачи

В курсе геометрии 8–9 классов тригонометрия появляется как инструмент для работы с прямоугольными треугольниками. На ОГЭ встречаются задания, где нужно находить синус, косинус и тангенс острого угла, а также использовать основное тригонометрическое тождество.

Определения

Пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha$ .

Тогда:

Синус угла $\alpha$ — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла $\alpha$ — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла $\alpha$ — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Заметим, что тангенс можно выразить через синус и косинус:

$tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Основное тригонометрическое тождество

Теорема (основное тригонометрическое тождество): Для любого острого угла $\alpha$ выполняется равенство:

$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$

Доказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ , $b$ и гипотенузой $c$ . Пусть угол $\alpha$ лежит напротив катета $a$ . Тогда $\sin \alpha = \dfrac{a}{c}$ , $\cos \alpha = \dfrac{b}{c}$ . Возведём в квадрат и сложим:

$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = \left(\frac{a}{c}\right)^{2} + \left(\frac{b}{c}\right)^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$

По теореме Пифагора $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , значит:

$\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1$

Что и требовалось доказать.

Таблица значений для углов $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$

Угол	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$tg \alpha$
$30^\circ$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ или $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45^\circ$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^\circ$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$