Формула Бернулли

Формула Бернулли позволяет найти вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний событие $A$ произойдёт ровно $k$ раз, если в каждом испытании вероятность события $A$ постоянна и равна $p$ . Это одна из базовых формул в теории вероятностей, часто встречается на ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадах.

Условия применения формулы Бернулли

Чтобы использовать формулу Бернулли, должны выполняться следующие условия:

Проводится $n$ независимых испытаний.
В каждом испытании есть два исхода: «успех» или «неудача».
Вероятность «успеха» $p$ одинакова во всех испытаниях.
Нас интересует вероятность ровно $k$ успехов.

Сама формула

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Где:

$n$ — общее число испытаний;
$k$ — число «успехов», которое нас интересует;
$p$ — вероятность успеха в одном испытании;
$(1-p)$ — вероятность неудачи (часто обозначают как $q$ );
$C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний («сколькими способами можно выбрать $k$ успехов из $n$ испытаний»).

Пример 1.

Монету бросают 5 раз. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно 3 раза? Считаем, что монета симметричная: $p = 0{,}5$ .

Решение:

$n = 5$ , $k = 3$ , $p = 0{,}5$ , $1-p = 0{,}5$ .

Считаем число сочетаний:

$C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$

Теперь подставляем в формулу Бернулли:

$P_5(3) = 10 \cdot (0{,}5)^3 \cdot (0{,}5)^2 = 10 \cdot 0{,}125 \cdot 0{,}25 = 10 \cdot 0{,}03125 = 0{,}3125$

Ответ: вероятность ровно 3 орлов при 5 бросках равна $0{,}3125$ (или 31,25%).

Пример 2.

Стрелок попадает в мишень с вероятностью $p = 0{,}7$ . Он делает 4 выстрела. Какова вероятность, что он попадёт ровно 2 раза?

Решение:

$n = 4$ , $k = 2$ , $p = 0{,}7$ , $1-p = 0{,}3$

Число сочетаний:

$C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$

Применяем формулу:

$P_4(2) = 6 \cdot (0{,}7)^2 \cdot (0{,}3)^2 = 6 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}09 = 6 \cdot 0{,}0441 = 0{,}2646$

Ответ: $0{,}2646$ (или 26,46%).

Важно: Формула Бернулли работает только при постоянной вероятности $p$ и независимости испытаний. Если вероятность меняется от испытания к испытанию (например, выбор без возвращения), формула Бернулли неприменима: нужно использовать другие методы (в том числе дерево вероятностей или комбинаторику).