В треугольнике OI2=R2-2Rr, где I — точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности), O — центр описанной окружности, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.
Доказательство:
Пусть AM — хорда описанной окружности, проходящая через точку I.
Тогда по теореме о пересекающихся хордах: AI·IM=(R+OI)(R-OI).
Из треугольника AIH по определению синуса: AI=r/sin(α/2).
Из треугольника MAC по теореме синусов и лемме о трезубце: CM=2Rsin(α/2)=IM.
Подставим полученные равенства в AI·IM=(R+OI)(R-OI):
r/sin(α/2)·2Rsin(α/2)=R2-OI2
2Rr=R2-OI2.
Следовательно, OI2=R2-2Rr.