Определение
Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего в определенное количество раз. Частное двух соседних элементов геометрической прогрессии постоянно.
Формула
-ого члена геометрической прогрессии
Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если третий элемент геометрической прогрессии равен , а
-ый —
.
Решение.
Третий элемент прогрессии равен , а шестой элемент прогрессии —
. Сложим данные равенства.
Получим:
Ответ: .
Сумма геометрической прогрессии
Запишем сумму элементов геометрической прогрессии:
Прибавим к левой и правой части равенства .
Получим:
, если
Если , то
Пример 2. Найдите сумму чисел
Решение.
Ответ: .
Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию .
При неограниченном возрастании сумма
, первых
членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к числу
, которое называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Пример 3. Переведите бесконечную периодическую дробь в обыкновенную дробь.
Решение.
Ответ:.
Характеристическое свойство геометрической прогрессии
Пример 4. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
Найдите .
Решение.
, так как в данной геометрической прогрессии
.
Ответ: .