Геометрическая прогрессия

Определение

Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего в определенное количество раз. Частное двух соседних элементов геометрической прогрессии постоянно.

Формула $n$ -ого члена геометрической прогрессии

$b_2=b_1 \cdot q$

$b_3=b_2 \cdot q=b_1 \cdot q \cdot q=b_1 \cdot q^2$

$\ldots$

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если третий элемент геометрической прогрессии равен $28$ , а $6$ -ый — $224$ .

Решение.

Третий элемент прогрессии равен $b_3=b_1 \cdot q^2$ , а шестой элемент прогрессии — $b_{6}=b_1 \cdot q^5$ . Сложим данные равенства.

Получим:

$\frac{b_{6}}{b_3}=\frac{q^5}{q^2};$

$q=\sqrt[3]{\frac{224}{28}};$

$q=\sqrt[3]{8};$

$q=2.$

Ответ: $2$ .

Сумма геометрической прогрессии

Запишем сумму $n$ элементов геометрической прогрессии:

$S_n=b_1+b_2+b_3+\ldots+b_n=b_1+b_1q+b_1q^2+\ldots+b_1q^{n-1}.$

Прибавим к левой и правой части равенства $b_1q^n$ .

Получим:

$S_n+b_1q^n=b_1+b_1q+b_1q^2+\ldots+b_1q^{n-1}+b_1q^n=b_1+q \cdot S_n$

$S_n(1-q)=b_1-b_1q^n$

$S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}$ , если $q \neq 1.$

Если $q=1$ , то $S_n=b_1 \cdot n.$

Пример 2. Найдите сумму чисел $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}.$

Решение.

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1-{\left ( \frac{1}{2}\right )}^5}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}.$

Ответ: $\frac{31}{32}$ .

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию $|q|<1$ .

При неограниченном возрастании $n$ сумма $S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}$ , первых $n$ членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к числу $S=\frac{b_1}{1-q}$ , которое называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.