Квадратичная функция

Теория: что такое квадратичная функция

Квадратичной функцией называют функцию вида:

$y = ax^2 + bx + c$ , где $a \ne 0$ .

Здесь:

$a$ — старший коэффициент (определяет направление ветвей параболы и её «растяжение»),
$b$ — коэффициент при $x$ ,
$c$ — свободный член (значение функции при $x = 0$ , то есть точка пересечения с осью $Oy$ ).

График квадратичной функции — парабола.

Если $a > 0$ , ветви параболы направлены вверх; если $a < 0$ — вниз.

Различные способы записи квадратичной функции

Одну и ту же квадратичную функцию можно записать несколькими способами — каждый удобен для своих целей.

1. Общий (стандартный) вид:
$y = ax^2 + bx + c$ . Удобен для быстрого определения точки пересечения с $Oy$ (это $c$ ) и для подстановки значений.

2. Вершинная форма:
$y = a(x - h)^2 + k$ , где $(h; k)$ — координаты вершины параболы. Удобна для построения: сразу видна вершина и направление ветвей.

3. Факторизованная (через корни) форма:
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$ , где $x_1, x_2$ — нули функции (корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ ). Удобна, если корни известны, и нужно быстро построить график через точки пересечения с $Ox$ .

Пример. Покажем, как одна и та же функция выглядит в разных формах.

Пусть $y = -x^2 + 4x - 3$ .

Общий вид: $y = -x^2 + 4x - 3$ (уже дан).
Найдём вершину: $x_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$ , $y_v = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 3 = 1$ . Вершина: $(2; 1)$ .
Вершинная форма: $y = -(x - 2)^2 + 1$ .
Нули: $-x^2 + 4x - 3 = 0,\ x_1 = 1$ , $x_2 = 3$ .
Факторизованная форма: $y = -(x - 1)(x - 3)$ .

Вывод формулы для координат вершины и уравнения оси симметрии

Дано: $y = ax^2 + bx + c$ .

Выделим полный квадрат:
$y = a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right) + c = a\left(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}\right) + c.$
Раскроем скобки:
$y = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a} + c = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a}.$
Отсюда видно, что минимальное (или максимальное) значение достигается при $x = -\dfrac{b}{2a}$ .
Подставляя это значение в формулу, получаем ординату вершины:
$y_v = \dfrac{4ac - b^2}{4a} = -\dfrac{D}{4a}, \text{ где } D = b^2 - 4ac.$

Таким образом, координаты вершины параболы: $x_v = -\dfrac{b}{2a}$ , $y_v = -\dfrac{D}{4a}$ .

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину. Её уравнение:

$x = -\dfrac{b}{2a}$ .

Это линия, относительно которой парабола симметрична: для любой точки $(x, y)$ на параболе существует симметричная ей точка $(2x_v - x, y)$ , также лежащая на параболе.

Нули функции и дискриминант

Нули квадратичной функции — это значения $x$ , при которых $y = 0$ . То есть это корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ .

Количество нулей определяется дискриминантом $D = b^2 - 4ac$ :

Если $D > 0$ : два различных нуля (парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках).
Если $D = 0$ : один нуль (вершина параболы лежит на оси $Ox$ ).
Если $D < 0$ : нулей нет (парабола не пересекает ось $Ox$ ).

Пример. Найдём нули функции $y = x^2 - 6x + 8$ .

$a = 1$ , $b = -6$ , $c = 8$ .

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$ .

$\sqrt{D} = 2$ .

$x_{1,2} = \dfrac{6 \pm 2}{2}$ , то есть $x_1 = 4$ , $x_2 = 2$ .

Ответ: нули функции: $x = 2$ и $x = 4$ .

Порядок исследования функции

Область определения $D(y) = \mathbb{R}$ (все действительные числа).
Область значений зависит от знака $a$ .
Четность/нечетность
При $b = 0$ функция четная: $y = ax^2 + c = a(-x)^2 + c$ .
При $b \neq 0$ функция ни четная, ни нечетная.
Нули функции
В зависимости от дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ :
При $D > 0$ : два нуля
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

При $D = 0$ : один нуль
$x = -\frac{b}{2a}$

При $D < 0$ : нулей нет
Промежутки монотонности
Зависит от знака коэффициента $a$ :
При $a > 0$ :
Возрастает на $[-\frac{b}{2a}; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -\frac{b}{2a}]$
При $a < 0$ :
Возрастает на $(-\infty; -\frac{b}{2a}]$ и убывает на $[-\frac{b}{2a}; +\infty)$
Промежутки знакопостоянства
Экстремумы функции
Координаты вершины параболы:
При $a > 0$ (минимум):
$x_{min} = -\frac{b}{2a}, \quad y_{min} = -\frac{D}{4a}$

При $a < 0$ (максимум):
$x_{max} = -\frac{b}{2a}, \quad y_{max} = -\frac{D}{4a}$

Пример исследования функции y = -x² + 4x-3

Область определения
D(y): $\mathbb{R}$ (все действительные числа)
Область значений
Так как $a < 0$ , то ветви направлены вниз
E(y): $(-\infty; 2]$
Четность/нечетность
функция ни четная, ни нечетная
Нули функции
$x_1 = 1$ , $x_2 = 3$
Промежутки знакопостоянства
Положительна на $(1; 3)$
Отрицательна на $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$
Промежутки монотонности
Возрастает на $(-\infty; 2]$ и убывает на $[2; +\infty)$
Экстремумы функции
Максимум функции: $y_{max} = 1$ при $x = 2$

Алгоритм построения графика

Определить направление ветвей (по знаку $a$ )
Найти координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ , $y_0 = -\frac{D}{4a}$
Найти нули функции(если они есть)
Найти точку пересечения с Oy
Найти координаты еще нескольких точек параболы
Построить точки по координатам
Соединить точки плавной кривой

Пример построения графика функции $y = -x^2 + 4x - 3$ .

Парабола с ветвями, направленными вниз.
Вершина: $(2; 1)$
Нули функции: $x = 1$ и $x = 3$
Пересечение с осью $Oy$ : $(0; -3)$
Таблица значений функции с дополнительными точками

$x$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$

$y$ $-8$ $-3$ $0$ $1$ $0$ $-3$ $-8$ $-15$
График функции