Квадратные уравнения: теория, вывод формул и особые случаи

Теория: что такое квадратное уравнение

Квадратным уравнением называют уравнение вида:

$ax^2 + bx + c = 0$ , где $a \ne 0$ .

Здесь:

$a$ — старший коэффициент,
$b$ — коэффициент при $x$ ,
$c$ — свободный член.

Корень уравнения — это значение $x$ , при котором равенство становится верным. У квадратного уравнения может быть не более двух действительных корней.

Вывод формулы дискриминанта и корней.

Дано: $ax^2 + bx + c = 0$ , $a \ne 0$ .

Делим на $a$ : $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$ .
Выделяем полный квадрат: $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a} = 0$ .
Переносим свободные члены: $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ .
Обозначаем $D = b^2 - 4ac$ , тогда $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{D}{4a^2}$ .
Извлекаем корень и выражаем $x$ : $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ .

1. Решение через дискриминант

Дискриминант вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$ .

По знаку $D$ определяют количество корней:

Если $D > 0$ : два различных корня: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ .
Если $D = 0$ : один корень (два совпадающих): $x = \dfrac{-b}{2a}$ .
Если $D < 0$ : действительных корней нет.

Пример. Решим: $2x^2 - 7x + 3 = 0$ .

Выпишем коэффициенты: $a = 2$ , $b = -7$ , $c = 3$ .

Найдем дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$ .

Вычислим корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = 5$ .

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}$ , то есть $x_1 = 3$ , $x_2 = 0{,}5$ .

2. Теорема Виета для неприведённого уравнения

Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ ( $a \ne 0$ ) теорема Виета даёт:

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$ .

Доказательство теоремы Виета. Докажем, что для корней $x_1, x_2$ верны равенства $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ , $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ .

Способ 1: через формулу корней

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ .

Сумма: $x_1 + x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} + \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-2b}{2a} = -\dfrac{b}{a}$ .
Произведение: $x_1 x_2 = \dfrac{(-b)^2 - D}{4a^2} = \dfrac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \dfrac{4ac}{4a^2} = \dfrac{c}{a}$ .

Способ 2: через разложение на множители

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a x_1 x_2$ .

Сравнивая коэффициенты:

Из $b = -a(x_1 + x_2)$ следует, что $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ ;
Из $c = a x_1 x_2$ следует, что $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ .

Важное замечание

Теорема Виета работает всегда, если считать корни в комплексных числах. В школьной программе обычно рассматривают случай, когда корни действительные (то есть когда дискриминант $D \ge 0$ ).

Если $D > 0$ : два различных действительных корня — формулы Виета работают напрямую.
Если $D = 0$ : один корень (два совпадающих): $x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}$ . Формулы Виета тоже верны: сумма $-\dfrac{b}{a}$ , произведение $\dfrac{c}{a}$ .
Если $D < 0$ : действительных корней нет, но в комплексных числах корни существуют, и теорема Виета для них также справедлива.

Практический вывод: При решении задач на ОГЭ и большинстве школьных задач мы используем теорему Виета только тогда, когда уверены, что корни действительные. Если неясно — сначала проверяем дискриминант или пробуем подобрать целые/простые дробные корни; если не получается — решаем через $D$ .

Пример. $3x^2 - 10x + 3 = 0$