Линейная функция: теория, графики, примеры

Определение

Линейная функция — это функция, которую можно задать формулой:

$y = kx + b,$

где:

$x$ — независимая переменная (аргумент);
$y$ — зависимая переменная (значение функции);
$k$ — угловой коэффициент (определяет наклон прямой);
$b$ — свободный член (показывает, где график пересекает ось $Oy$ ).

График линейной функции — прямая линия. Именно поэтому функция и называется «линейной».

Коэффициент $k$ отвечает за наклон прямой:

Если $k > 0$ , функция возрастает: при увеличении $x$ значение $y$ тоже растёт.
Если $k < 0$ , функция убывает: при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается.
Если $k = 0$ , уравнение превращается в $y = b$ : график — горизонтальная прямая, функция постоянна.

Геометрически $k$ равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$ : $k = tg \alpha$ .

Значение $b$ показывает, в какой точке прямая пересекает ось ординат ( $Oy$ ). Если подставить $x = 0$ в формулу, получим: $y = k \cdot 0 + b = b$ . Значит, график всегда проходит через точку $(0; b)$ .

Частные случаи линейной функции

Прямая пропорциональность: если $b = 0$ , формула принимает вид $y = kx$ . График проходит через начало координат $(0; 0)$ .
Постоянная функция: если $k = 0$ , формула становится $y = b$ . График — прямая, параллельная оси $Ox$ .

Как построить график линейной функции

Чтобы построить прямую, достаточно двух точек.

Алгоритм:

Выбрать два значения $x$ (удобно брать $x = 0$ и ещё одно простое значение).
Подставить их в формулу $y = kx + b$ и вычислить соответствующие значения $y$ .
Отметить полученные точки на координатной плоскости.
Провести через них прямую.

Свойства линейной функции

Ключевые свойства:

Область определения: все действительные числа ( $x \in \mathbb{R}$ ).
Область значений: все действительные числа, если $k \ne 0$ . Если $k = 0$ , область значений состоит из одного числа $\{b\}$ .
Монотонность: функция либо возрастает ( $k > 0$ ), либо убывает ( $k < 0$ ), либо постоянна ( $k = 0$ ).
Непрерывность: линейная функция непрерывна на всей области определения.
Отсутствие экстремумов: у линейной функции нет наибольшего и наименьшего значений.

Точки пересечения с осями координат

С осью $Oy$ : всегда в точке $(0; b)$ .
С осью $Ox$ : нужно решить уравнение $kx + b = 0$ . Отсюда: $x = -\frac{b}{k},\text{при } k \ne 0.$ Точка пересечения: $\left(-\frac{b}{k}; 0\right)$ .

Если $k = 0$ , а $b \ne 0$ , прямая параллельна оси $Ox$ и не пересекает её.

Параллельность и пересечение прямых

Рассмотрим две линейные функции:

$y_1 = k_1 x + b_1, \quad y_2 = k_2 x + b_2$

Прямые параллельны, если $k_1 = k_2$ и $b_1 \ne b_2$ .
Прямые совпадают, если $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$ .
Прямые пересекаются в одной точке, если $k_1 \ne k_2$ . Чтобы найти точку пересечения, нужно решить уравнение: $k_1 x + b_1 = k_2 x + b_2.$

Тренировочные задания

Тренажер по теме «Линейная функция»

Проверочная работа по теме «Линейная функция»