Математическое ожидание: суть, формулы, примеры

Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятностям. Оно показывает, «чего в среднем можно ожидать» при многократном повторении эксперимента.

Определение

Для дискретной случайной величины $X$ , которая принимает значения $x_1, x_2, \dots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \dots, p_n$ , математическое ожидание определяется как:

$\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$

Для непрерывной случайной величины с плотностью $f(x)$ формула выглядит так:

$\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)\,dx$

Важное условие: сумма вероятностей должна быть равна $1$ : $\sum p_i = 1$ .

Свойства математического ожидания

Свойство 1 (константа).
$\mathbb{E}[c] = c$

Свойство 2 (вынос константы).
$\mathbb{E}[aX] = a \cdot \mathbb{E}[X]$

Свойство 3 (линейность суммы).
$\mathbb{E}[X + Y] = \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y]$
Работает даже для зависимых случайных величин.

Свойство 4 (произведение для независимых).
Если $X$ и $Y$ независимы, то $\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X] \cdot \mathbb{E}[Y]$ .

Пример 1. Пусть $X$ — число очков, выпавших на грани честной игральной кости. Все значения $1, 2, 3, 4, 5, 6$ равновозможны. Найдите математическое ожидание $\mathbb{E}[X]$ .
Решение:
Так как кость честная, вероятность каждого исхода равна $\frac{1}{6}$ .
По определению математического ожидания для дискретной случайной величины:

$\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^{6} x_i \cdot P(X = x_i) = 1\cdot\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{1}{6} + 3\cdot\frac{1}{6} + 4\cdot\frac{1}{6} + 5\cdot\frac{1}{6} + 6\cdot\frac{1}{6}.$

Вынесем общий множитель:

$\mathbb{E}[X] = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5.$

Ответ: $\mathbb{E}[X] = 3{,}5$ .

Пример 2. Монету подбрасывают один раз. Она выпадает орлом с вероятностью $0{,}7$ — в этом случае игрок получает $10$ рублей. С вероятностью $0{,}3$ выпадает решка — тогда игрок теряет $20$ рублей. Пусть случайная величина $X$ — выигрыш игрока (может быть отрицательным). Найдите математическое ожидание выигрыша $\mathbb{E}[X]$ .
Решение:
Случайная величина $X$ принимает два значения:
• $x_1 = 10$ с вероятностью $p_1 = 0{,}7$ ,
• $x_2 = -20$ с вероятностью $p_2 = 0{,}3$ .
По определению математического ожидания для дискретной случайной величины:

$\mathbb{E}[X] = \sum x_i \cdot p_i = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2$

Подставляем значения:

$\mathbb{E}[X] = 10 \cdot 0{,}7 + (-20) \cdot 0{,}3 = 7 - 6 = 1$

Ответ: $\mathbb{E}[X] = 1$ рубль.

Пример 3. В лотерее $1000$ билетов. Один билет выигрывает $5000$ рублей, $10$ билетов выигрывают по $1000$ рублей, остальные — ничего. Стоимость билета $200$ рублей. Найдите математическое ожидание чистого выигрыша.

Решение:

Вероятности: $P(5000) = \frac{1}{1000}$ , $P(1000) = \frac{10}{1000} = 0{,}01$ , $P(0) = 1 - 0{,}001 - 0{,}01 = 0{,}989$ .
Чистый выигрыш: $5000 - 200 = 4800$ , $1000 - 200 = 800$ , $0 - 200 = -200$ .
Считаем ожидание:
$\mathbb{E}[X] = 4800\cdot0{,}001 + 800\cdot0{,}01 + (-200)\cdot0{,}989 = 4{,}8 + 8 - 197{,}8 = -185$

Ответ: ожидаемый чистый выигрыш равен $-185$ рублей (в среднем теряем $185$ рублей на билет).