Задачи на оптимальный выбор. – Царство математики

Решение задач на оптимальный выбор, которые представлены в сборнике ФИПИ на данный момент, можно разбить на следующие этапы:

Составление математической модели|целевой функции;
Задание ограничений;
Исследование математической модели, используя свойства функции или производную;
Анализ, запись ответа.

Задача 1. Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

Решение.

Составим математическую модель прогулки Алексея
Пусть $v$ (км/ч) — это скорость Алексея, $t$ (ч) — время, $S$ (км) — расстояние, которое прошел Алексей. Составим краткую запись, учитывая скорость сближения Алексея с Жучкой. Скорость сближения: $(v+9)-v=9$ км/ч. Расстояние между Жучкой и Алексеем было 6 км. Значит Жучке потребуется $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ часа, чтобы догнать Алексея.

	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)	$S$ (км)
до разворота домой	$v$	$\frac{6}{v}+\frac{2}{3}$	$6+\frac{2}{3}v$
после разворота домой	4	$\frac{6+\frac{2}{3}v}{4}$	$6+\frac{2}{3}v$

На всю прогулку он потратил $\frac{6}{v}+\frac{2}{3}+\frac{6+\frac{2}{3}v}{4}=\frac{6}{v}+\frac{v}{6}+\frac{13}{6}$

Исследуем математическую модель

1 способ(используя производную)

${\left ( \frac{6}{v}+\frac{v}{6}+\frac{13}{6} \right ) }'=-\frac{6}{v^2}+\frac{1}{6}$

$-\frac{6}{v^2}+\frac{1}{6}=0$

$v^2=36$

$v=6$

Подставим скорость в выражение, получим:

$\frac{6}{6}+\frac{6}{6}+\frac{13}{6}=4 +\frac{1}{6}$ =4 часа 10 минут.

2 способ(используя неравенство суммы взаимно-обратных чисел)

$\frac{6}{v}+\frac{v}{6}+\frac{13}{6}$

$\left |\frac{6}{v}+\frac{v}{6}\right |\geqslant 2$ . Наименьшее время будет при $\frac{6}{v}+\frac{v}{6}=2$ . $v=6$ км /ч.

Ответ: Скорость Алексея равна 6 км/ч, а время, затраченное на весь путь — 4 часа 10 минут.

Задача 2.

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение.

Составим математическую модель
Пусть на первом заводе рабочие трудятся $x^2$ часов в неделю, а на втором $y^2$ часов в неделю.
Составим целевую функцию: $g(x,y)=(x^2+y^2)500$ – затрата на оплату труда рабочих.
По условию: $2x+5y=580$ . Следовательно, $y=\frac{580-2x}{5}$

$f(x)=\left (x^2+\left (\frac{580-2x}{5}\right )^2\right )500$

$f(x)=500x^2+\left (580^2-1160x+4x^2\right )20$

$f(x)=580x^2-46400x+6728000$

Исследуем математическую модель
Функция $f(x)=580x^2-46400x+6728000$ — квадратичная с положительным коэффициентом при $x^2$ , значит наименьшее значение достигает в вершине параболы.

$x_{min}=\frac{46400}{1160}=40$

Подставим значение $x_{min}$ в $y=\frac{580-2x}{5}=100$ и $g(x,y)=(40^2+100^2)500=5800000$ .

Ответ: Рабочим требуется еженедельно платить минимум 5 800 000 рублей.