Параллелограмм

Определение параллелограмма

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны;
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам;
3. Диагональ параллелограмма делит параллелограмм на два равных треугольника;
4. Точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма;
5. Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;
6. Биссектрисы параллелограмма, проведенные из противоположных углов, параллельны;
7. Биссектрисы параллелограмма, проведенные из соседних углов, перпендикулярны;
8. Угол между высотами, проведенными из тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма;
9. Угол между высотами, проведенными из острого угла параллелограмма, равен тупому углу параллелограмма;
10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон;
11. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Признаки параллелограмма

Признаки помогают установить, что данный четырехугольник действительно является параллелограммом.

1. Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом;
2. Если у четырехугольника противоположные углы попарно равны, то он является параллелограммом;
3. Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то он параллелограмм;
4. Если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом.

Частные случаи параллелограмма

Частные случаи параллелограмма: прямоугольник, квадрат, ромб. Следовательно, все эти фигуры обладают свойствами, присущими параллелограмму.

Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы равны. 

Поскольку прямоугольник – это частный случай параллелограмма, то он обладает всеми его свойствами.

Отличительные свойства прямоугольника:

1. Диагонали прямоугольника равны;
2. Любой прямоугольник можно вписать в окружность;
3. Прямоугольник имеет две оси симметрии.

Признаки прямоугольника:

1. Если диагонали параллелограмма равны, то он — прямоугольник;
2. Если параллелограмм можно вписать в окружность, то он является прямоугольником.

Ромб

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Отличительные свойства ромба:

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам;
2. Все высоты ромба равны;
3. Ромб имеет две оси симметрии, которые проходят по его диагоналям.

Признаки ромба:

1. Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то он – ромб;
2. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то он – ромб;
3. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов, то он – ромб.

Квадрат

Квадрат — параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

Квадрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника.

Отличительное свойство квадрата:

1. Квадрат переходит в себя при повороте на угол 90° вокруг его центра.

Площадь параллелограмма

1. Площадь параллелограмма через сторону и высоту, проведенной к этой стороне:
2. Площадь параллелограмма через стороны и угол между ними:
3. Площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними:
4. Площадь параллелограмма через радиус вписанной окружности и сторону(верна только для параллелограмма, в который можно вписать окружность):
5. Площадь параллелограмма через радиус вписанной окружности и угол между сторонами(верна только для параллелограмма, в который можно вписать окружность):