В треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и точка пересечения медиан лежит на одной прямой, и расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра в три раза больше расстояния от центра описанной окружности до точки пересечения медиан.
Доказательство:
Пусть Н — ортоцентр, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности.
Треугольники ABC и EFD подобны по трем сторонам с коэффициентом подобия 2.
AH/EO=2/1 (отрезки высот подобных треугольников).
AM/ME=2/1 (свойство точки пересечения медиан треугольника).
Следовательно, AH/EO=AM/ME.
Пусть G — точка пересечения отрезков AE и OH.
Треугольники OEG и HAG подобны по 2 углам. Следовательно, GH/GO=AG/GE=AH/EO=2/1.
Следовательно, M=G.
Следствие 1:
Центр окружности, описанной около треугольника DEF является серединой отрезка OH.
Следствие 2:
Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра в два раза больше, чем расстояние от центра его описанной окружности до середины противолежащей стороны.