Теорема Безу и схема Горнера: быстрый поиск корней и деление многочленов

В алгебре 10–11 классов и на олимпиадах часто приходится делить многочлены, искать их корни и раскладывать на множители. Теорема Безу и схема Горнера — это два тесно связанных инструмента, которые делают эти операции быстрыми и удобными. В этой статье разберём оба метода, покажем, как они работают, и приведём примеры с пошаговыми решениями.

Теорема Безу: связь корня и остатка

Теорема Безу: Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен значению многочлена в точке $a$ , то есть $P(a)$ .

Следствие из теоремы Безу особенно полезно:

Число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ (то есть $P(a) = 0$ ) тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится на $(x - a)$ без остатка.

Это даёт простой способ проверять, является ли число корнем: достаточно подставить его в многочлен и посчитать значение. Если получилось $0$ — это корень, и $(x - a)$ — множитель.

Схема Горнера: компактное деление на $(x - a)$

Схема Горнера — это алгоритм, который позволяет одновременно: — проверить, является ли $a$ корнем; — найти коэффициенты частного при делении $P(x)$ на $(x - a)$ ; — получить остаток (он будет в последней ячейке).

Пусть $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$ . Чтобы разделить $P(x)$ на $(x - a)$ , используют таблицу, где по горизонтали идут коэффициенты $P(x)$ , а слева — число $a$ .

$P(x)$	$a_n$	$a_{n-1}$	$\ldots$	$a_1$	$a_0$
$a$	$a_n$	$b_{n-1} = a_n \cdot a + a_{n-1}$	$\ldots$	$b_0$	$R$

Алгоритм заполнения таблицы (по шагам слева направо):

Переносим старший коэффициент вниз: $b_n = a_n$ .
Для каждого следующего столбца: умножаем предыдущее число в нижней строке на $a$ и прибавляем текущий коэффициент.
Последнее число в нижней строке — это остаток $R = P(a)$ .

Если $R = 0$ , то $a$ — корень, а числа в нижней строке (кроме последнего) — коэффициенты частного многочлена степени на $1$ меньше.

Пример 1. Разделить $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ на $(x - 2)$ и проверить, является ли $2$ корнем.

Решение:

Коэффициенты: $1, -6, 11, -6$ . Делим на $(x - 2)$ , значит, $a = 2$ . Заполняем таблицу:

	$1$	$-6$	$11$	$-6$
$2$	$1$	$(1 \cdot 2) + (-6) = -4$	$(-4 \cdot 2) + 11 = 3$	$(3 \cdot 2) + (-6) = 0$

Остаток равен $0$ , значит, $2$ — корень. Коэффициенты частного: $1, -4, 3$ , то есть частное равно $x^2 - 4x + 3$ . Таким образом,

$P(x) = (x - 2)(x^2 - 4x + 3).$

Ответ: $P(x) = (x - 2)(x^2 - 4x + 3)$ , $2$ — корень.

Как искать корни: рациональные корни и перебор

Для поиска рациональных корней часто используют теорему о рациональных корнях: если у многочлена с целыми коэффициентами есть рациональный корень $\dfrac{p}{q}$ , то $p$ — делитель свободного члена, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

На практике это означает: чтобы найти возможные рациональные корни, нужно выписать делители свободного члена и поделить их на делители старшего коэффициента.

Важно: Теорема даёт только возможные рациональные корни. Каждый кандидат нужно проверить (подстановкой или схемой Горнера).

Пример 2. Найдите все рациональные корни многочлена $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$ и разложите его на линейные множители.

Решение:

По теореме о рациональных корнях: если $\dfrac{p}{q}$ — рациональный корень, то: — $p$ — делитель свободного члена (здесь $6$ ), — $q$ — делитель старшего коэффициента (здесь $2$ ). Делители $6$ : $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Делители $2$ : $\pm1, \pm2$ . Возможные рациональные корни:

$\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm\dfrac{1}{2}, \pm\dfrac{3}{2}.$