Схема Горнера — схема, с помощью которой можно разделить многочлен на бином x-x0. Данная схема очень часто упрощает решение уравнений, если известен какой-нибудь целочисленный корень уравнения.
Алгоритм вычисления по схеме Горнера:
- Заполняем таблицу, количество столбцов которой на 2 больше, чем степень исходного многочлена;
- Начиная со второй ячейки первой строки записываем коэффициенты исходного многочлена, предварительно записанного в стандартном виде;
- В первую ячейку второй строки записываем потенциальный корень многочлена(x0);
- Под первым коэффициентом делимого а0 во второй строчке пишется ещё раз этот коэффициент;
- Под коэффициентом а1 пишется число b1=а1+b0·x0;
- Под коэффициентом аn пишется число bn=аn+bn-1x0;
В последней ячейке второй строки должен получиться остаток от деления многочлена на бином x-x0. Если он равен нулю, то исходный многочлен делится без остатка на бином x-x0. Из заполненной таблицы по схеме Горнера, можно выписать и неполное частное при делении многочлена на бином x-x0. Коэффициенты неполного частного берутся из второй строки.
Рассмотрим пример. Решить уравнение 3x4-6x3+2x2+2x-1=0.
1. Подбираем корень уравнения.
Потенциальными корнями уравнения могут быть делители свободного члена: -1, 1.
Подставим 1 в исходное уравнение вместо х: 3·14-6·13+2·12+2·1-1=3-6+2+2-1=-3+4-1=0. Следовательно, x=1 — корень уравнения.
2. Заполним схему Горнера.
| 3 | -6 | 2 | 2 | -1 | |
| 1 | 3 | -3=-6+1·3 | -1=2+1·(-3) | 1=2+1·(-1) | 0=-1+1·1 |
Следовательно, уравнение можно записать в виде: (x-1)(3x3-3x2-x+1)=0. Попытаемся разложить на множители многочлен 3x3-3x2-x+1.
| 3 | -3 | -1 | 1 | |
| 1 | 3 | 0=-3+1·3 | -1=-1+1·0 | 0=1+1·(-1) |
Получаем, 3x4-6x3+2x2+2x-1=(x-1)(3x3-3x2-x+1)=(x-1)(x-1)(3x2-1).
Уравнение 3x4-6x3+2x2+2x-1=0 имеет корни: 1, 1/√3, -1/√3.