Степень с натуральным показателем

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$ :

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

Здесь:

$a$ — основание степени;
$n$ — показатель степени, причём $n \in \mathbb{N}$ (натуральное число: $1, 2, 3, \ldots$ ).

Важно: по определению $a^1 = a$ .

Запишем 10 первых степеней двойки. Их желательно выучить. Понадобятся на информатике.

2¹	2²	2³	2⁴	2⁵	2⁶	2⁷	2⁸	2⁹	2¹⁰
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Если показатель степени равен 2, то произведение называют квадратом числа. Если показатель степени равен 3, то произведение называют кубом числа.

Например: 3²— квадрат тройки, 4³ — куб четверки.

Таблица квадратов первых 30 натуральных чисел:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
121	144	169	196	225	256	289	324	361	400
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
441	484	529	576	625	676	729	784	841	900

Таблица кубов первых 10 натуральных чисел:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000

Основные свойства степени с натуральным показателем

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Пример 1.

$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Сначала складываем показатели, потому что основания одинаковые, потом считаем значение.

Пример 2.

$x^5 \cdot x = x^5 \cdot x^1 = x^{5+1} = x^6$

Помним, что $x = x^1$ , поэтому показатель у второго множителя равен 1.

Пример 3 (с коэффициентами).

$3a^2 \cdot 4a^5 = (3 \cdot 4) \cdot (a^2 \cdot a^5) = 12a^{2+5} = 12a^7$

Коэффициенты перемножаем отдельно, степени с одинаковым основанием — по свойству.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

$a^m : a^n = a^{m-n}$

(при $m > n$ , $a \ne 0$ )

Пример 1.

$5^8 : 5^3 = 5^{8-3} = 5^5 = 3125$

Вычитаем показатели, основание не меняется.

Пример 2.

$\dfrac{y^{10}}{y^4} = y^{10-4} = y^6$

Это то же самое деление, только в виде дроби.

Пример 3 (с коэффициентом).

$\dfrac{18b^7}{3b^2} = \left(\dfrac{18}{3}\right) \cdot \left(\dfrac{b^7}{b^2}\right) = 6 \cdot b^{7-2} = 6b^5$

Делим числа отдельно, степени — по правилу.

Возведение степени в степень

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Пример 1.

$(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 = 6561$

Показатели перемножаются.

Пример 2.

$(x^3)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15}$

Просто умножаем показатели.

Пример 3 (вложенные степени).

$((2^3)^2)^4 = (2^{3 \cdot 2})^4 = (2^6)^4 = 2^{6 \cdot 4} = 2^{24}$

Применяем правило последовательно.

Возведение произведения в степень

$(ab)^n = a^n \cdot b^n$

Пример 1.

$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$

Каждый множитель возводим в степень отдельно.

Пример 2.

$(-3ab)^2 = (-3)^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = 9a^2b^2$

Минус в чётной степени исчезает, каждый множитель берём в степень.

Пример 3.

$(5xy^2)^3 = 5^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 = 125x^3y^{6}$

Обратите внимание: $y^2$ тоже возводится в степень, и тут работает ещё и правило «степень в степень».

Возведение дроби в степень

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

(при $b \ne 0$ )

Пример 1.

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{2^4}{3^4} = \dfrac{16}{81}$

Числитель и знаменатель возводим в одну и ту же степень.

Пример 2.

$\left(\dfrac{x}{5}\right)^3 = \dfrac{x^3}{5^3} = \dfrac{x^3}{125}$

Пример 3.

$\left(\dfrac{2a}{b}\right)^2 = \dfrac{(2a)^2}{b^2} = \dfrac{4a^2}{b^2}$

В числителе сначала применяем правило для произведения, потом записываем дробь.