Степень с целым показателем

Школьная программа

Определение степени с целым показателем

Пусть $a \in \mathbb{R}$ , $n \in \mathbb{Z}$ . Тогда:
— Если $n > 0$ , то $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$ .
— Если $n = 0$ и $a \ne 0$ , то $a^0 = 1$ .
— Если $n < 0$ и $a \ne 0$ , то $a^n = \dfrac{1}{a^{-n}}$ .

Важное замечание: Выражение $0^0$ является неопределённостью. В школьной алгебре оно не определено. В комбинаторике и некоторых разделах анализа его могут доопределять как 1 для удобства, но это — специальное соглашение, а не следствие общих правил.

Свойства степеней с целым показателем

Для $a \ne 0$ , $b \ne 0$ и любых целых $m, n$ выполняются следующие свойства:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — умножение степеней с одинаковыми основаниями.
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — деление степеней с одинаковыми основаниями.
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ — возведение степени в степень.
$(ab)^n = a^n b^n$ — степень произведения.
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ — степень частного.

Пример 1.

Упростите выражение: $\dfrac{(x^{-2})^3 \cdot x^5}{x^{-4}}$ , где $x \ne 0$ .

Решение:

Возведение степени в степень: $(x^{-2})^3 = x^{-6}$ .
Умножение степеней с одинаковым основанием: $x^{-6} \cdot x^5 = x^{-1}$ .
Деление степеней: $\dfrac{x^{-1}}{x^{-4}} = x^{-1 - (-4)} = x^3$ .

Ответ: $x^3$ .

Пример 2.

Вычислите: $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2}$ .

Решение:

$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 = \dfrac{25}{4} = 6{,}25$ .

Ответ: $6{,}25$ .

Пример 3.

Упростите: $\dfrac{3^{-2} \cdot 3^4}{3^{-1}}$ .

Решение:

Числитель: $3^{-2} \cdot 3^4 = 3^{2}$ .
Деление: $\dfrac{3^2}{3^{-1}} = 3^{2 - (-1)} = 3^3 = 27$ .

Ответ: $27$ .

Пример 4.

Определите, при каких значениях параметра $a$ имеет смысл выражение: $(a - 3)^0 \cdot (a + 1)^{-2}$ .

Решение:

Для $(a - 3)^0$ необходимо $a - 3 \ne 0 \Rightarrow a \ne 3$ .
Для $(a + 1)^{-2}$ необходимо $a + 1 \ne 0 \Rightarrow a \ne -1$ .

Следовательно, выражение определено при всех $a$ , кроме $a = 3$ и $a = -1$ .

Ответ: $a \in \mathbb{R} \setminus \{-1; 3\}$ .

Пример 5.

Сравните числа: $2^{100}$ и $3^{75}$ .

Решение:

Приведём к общему показателю или основанию. Удобнее привести к показателю $25$ :

$2^{100} = (2^4)^{25} = 16^{25}$ .
$3^{75} = (3^3)^{25} = 27^{25}$ .

Так как $27 > 16$ , то $27^{25} > 16^{25}$ , следовательно, $3^{75} > 2^{100}$ .

Ответ: $3^{75} > 2^{100}$ .

Подписаться

0 Комментарий

Новые

Старые Популярные

0

Оставьте комментарий! Напишите, что думаете по поводу статьи.x

()

| Ответить