Теорема Чевы, Менелая и метод масс

Теорема Чевы

Три чевианы $AD$ , $BG$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство:

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CG}{GA}=1$

Пример 1. Три чевианы $AD$ , $BG$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке так, что $AE:EB=2:1, BD:DC=2:3$ . Как относится $CG$ к $GA$ ?

Решение.

По теореме Чевы:

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CG}{GA}=1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac {CG}{GA}=1$

$\frac {CG}{GA}=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

$\frac {CG}{GA}=\frac{3}{4}$

Ответ: $3:4$ .

Теорема Менелая

Три точки $E$ , $D$ и $F$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение:

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CF}{FA}=1$

Пример 2.

$AD$ — медиана треугольника $ABC$ . Точка $E$ лежит на $AB$ . $ED$ пересекает $AC$ в точке $F.$

Найдите как относится $CF$ к $FA$ , если $AE$ к $EB$ относится как $4:1$ .

Решение.

Так как точки $E$ , $D$ и $F$ лежат на одной прямой, то можно воспользоваться теоремой Менелая:

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac {CF}{FA}=1$

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac {CF}{FA}=1$

$\frac {CF}{FA}=\frac{1}{4}$

Ответ: $1:4$ .

Метод масс

Три чевианы $AD$ , $BG$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняются следующие равенства:

$\begin{matrix}m_{1} \cdot AE=m_{3} \cdot BE \\ m_{3} \cdot BD=m_{2} \cdot DC\\ m_{2} \cdot CG=m_{1} \cdot AG\\ m_{1} \cdot AF=(m_{3}+m_{2}) \cdot FD\\ m_{3} \cdot BF=(m_{1}+m_{2}) \cdot FG\\ m_{2} \cdot CF=(m_{1}+m_{3}) \cdot FE\\ \end{matrix}$

Пример 3. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ так, что $AM:MB=2:3$ , $BN:NC=2:1$ . Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $O$ . Найдите отношение $CO:OM$ .

Решение. Поставим в вершины треугольника $ABC$ массы так, чтобы выполнялись следующие равенства:

$\begin{matrix} m_{1} \cdot AM=m_{2} \cdot MB \\m_{2} \cdot BN=m_{3} \cdot NC \\ \end{matrix}$

Видим, что $m_{1} =3, m_{2} =2, а m_{3}=4$ .

Тогда, $4 \cdot CO=(3+2) \cdot OM$

$\frac {CO}{OM}=\frac {5}{4}$

Ответ: $5:4$ .

Тренировочные задания

Задача 1. Доказать, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача 2. Точки М и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем AM:MB=1:2, AN:NC=3:2. Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите отношение: BF:CF.

Задача 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и СM пересекаются в точке O. Найдите отношение СO:OM.

Задача 4. Стороны треугольника равны 5, 6, 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Задача 5. В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC=1:3, а точка О делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC?

Задача 6. В треугольнике ABC взята точка M, а на стороне BC — точка K так, что AM:MC=2:3, BK:KC=4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?

Задача 7. В треугольнике ABC AA₁ — биссектриса, BB₁ — медиана. AB=2, AC=3. Найти BO:OB₁.

Задача 8. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекается в точке F. Найти площадь треугольника ABC, если AF=3FE, BD=4, AE=6.

Задача 9. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки М и N соответственно. Отрезки AN и СM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML, CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача 10. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ — точка B так, что NA:AP=PB:BQ=2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?