Теорема Чевы
Три чевианы ,
и
треугольника
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство:
Пример 1. Три чевианы ,
и
треугольника
пересекаются в одной точке так, что
. Как относится
к
?
Решение.
По теореме Чевы:
Ответ: .
Теорема Менелая
Три точки ,
и
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение:
Пример 2.
— медиана треугольника
. Точка
лежит на
.
пересекает
в точке
Найдите как относится к
, если
к
относится как
.
Решение.
Так как точки ,
и
лежат на одной прямой, то можно воспользоваться теоремой Менелая:
Ответ: .
Метод масс
Три чевианы ,
и
треугольника
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняются следующие равенства:
Пример 3. На сторонах и
треугольника
взяты соответственно точки
и
так, что
,
. Отрезки
и
пересекаются в точке
. Найдите отношение
.
Решение. Поставим в вершины треугольника массы так, чтобы выполнялись следующие равенства:
Видим, что .
Тогда,
Ответ: .
Тренировочные задания
Задача 1. Доказать, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Задача 2. Точки М и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем AM:MB=1:2, AN:NC=3:2. Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите отношение: BF:CF.
Задача 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и СM пересекаются в точке O. Найдите отношение СO:OM.
Задача 4. Стороны треугольника равны 5, 6, 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.
Задача 5. В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC=1:3, а точка О делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC?
Задача 6. В треугольнике ABC взята точка M, а на стороне BC — точка K так, что AM:MC=2:3, BK:KC=4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?
Задача 7. В треугольнике ABC AA1 — биссектриса, BB1 — медиана. AB=2, AC=3. Найти BO:OB1.
Задача 8. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекается в точке F. Найти площадь треугольника ABC, если AF=3FE, BD=4, AE=6.
Задача 9. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки М и N соответственно. Отрезки AN и СM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML, CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найдите площадь треугольника ABC.
Задача 10. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ — точка B так, что NA:AP=PB:BQ=2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?