Теорема Птолемея.

Теорема. Произведение диагоналей четырехугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений противоположных сторон этого четырехугольника.

Доказательство.

Отложим от луча СD угол DCK равный углу ACB. CK∩DB=E. 

Рассмотрим ΔDCE и ΔACB:

1. ∠δ=∠γ (вписанные углы, опирающиеся на дугу BC);
2. ∠ε=∠ζ (по построению).

Следовательно, ΔDCE подобен ΔACB по 2 углам.

DC/AC=DE/AB=CE/CB.

Выразим DE через AC, AB и DC: DE=(DC·AB)/AC (1).

Рассмотрим ΔDCA и ΔBCE :

1. ∠α=∠β (вписанные углы, опирающиеся на дугу DC);
2. ∠DCA=∠ECB (по построению).

Следовательно, ΔDCA подобен ΔECB по 2 углам.

DC/EC=DA/EB=CA/CB.

Выразим EB через AC, CB и DA: EB=(DA·CB)/AC (2).

Сложим почленно равенства (1) и (2):

DE+EB=(DC·AB+DA·CB)/AC;

DB=(DC·AB+DA·CB)/AC;

DB·AC=DC·AB+DA·CB.