Теорема. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого равны половинам диагоналей данного четырехугольника, а площадь — половине площади данного четырехугольника.
Пример.
Доказательство.
HE — средняя линия треугольника ABD. Следовательно, HE||BD и HE=0,5·BD.
FG — средняя линия треугольника BCD. Следовательно, FG||BD и FG=0,5·BD.
Следовательно, отрезки HE и FG равны и параллельны, следовательно HEFG — параллелограмм.
Докажем, что площадь параллелограмма HEFG равна половине площади четырехугольника.
Пусть BD∩AC=O, тогда
SABCD=0,5·AC·BD·sin∠BOC
SHEFG=HG·HE·sin∠EHG
Пусть EH∩AC=K, тогда ∠BOC=∠EKC как соответственные углы при параллельных прямых HE и BD и секущей AC.
∠EKC=∠EHG как соответственные углы при параллельных прямых AC и HG и секущей EH.
Следовательно, ∠BOC=∠EHG.
SHEFG=HE·HG·sin∠EHG;
SHEFG=HE·HG·sin∠BOC;
SHEFG=0,5·AC·0,5·BD·sin∠BOC;
SHEFG=0,5·0,5·AC·BD·sin∠BOC;
SHEFG=0,5·SABCD.