Текстовые задачи на проценты, смеси и сплавы.

Пример 1. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?

Решение. Существуют различные способы решения данной задачи. Рассмотрим один из них.

Составим таблицу и уравнение по условию задачи.

I сплав

II сплав

I+II сплав

% меди

масса

x+y

$0,6x+0,45y=0,55(x+y)$

$0,6x-0,55x=0,55y-0,45y$

$0,05x=0,1y$

$\frac{x}{y}=\frac{0,1}{0,05}$

$\frac{x}{y}=\frac{10}{5}$

$\frac{x}{y}=\frac{2}{1}$

Ответ: 2:1.

Пример 2. Свежие фрукты содержат 85% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?

Решение.

Правило. При сушке испаряется только вода. Масса сухого вещества при сушке остаётся неизменной.

Для решения задач на «сухое вещество» удобно пользоваться представленной ниже таблицей.

	Сухое вещество		Вода		Всего (кг)
	%	Масса (кг)	%	Масса (кг)	Всего (кг)
Свежие фрукты
Сухие фрукты

Заполним её.

100-85=15 (%) – сухое вещество в свежих фруктах;
420 0,15=63 (кг) – масса сухого вещества в свежих и сухих фруктах;
100-16=84 (%) – сухое вещество в сухих фруктах;
63:0,84=75 (кг) – масса сухих фруктов.

	Сухое вещество		Вода		Всего (кг)
	%	Масса (кг)	%	Масса (кг)	Всего (кг)
Свежие фрукты	15	63	85		420
Сухие фрукты	84	63	16		75

Ответ: 75 килограммов масса сухих фруктов.

Пример 3. Четыре одинаковые ромашки дешевле подсолнуха на 7%. На сколько процентов пять таких же ромашек дороже подсолнуха?

Решение.

Стоимость одной ромашки составляет $93:4=23,25$ % стоимости подсолнуха.

Стоимость пяти ромашек составляет $23,25 \cdot 5 = 116,25$ % стоимости подсолнуха.

Следовательно, пять ромашек дороже подсолнуха на $116,25-100=16,25$ %.

Ответ: 16,25%.

Пример 4. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 63%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%.

Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение.

Зарплата отца составляет 63% дохода семьи.

Стипендия дочки составляет $4 \cdot \frac{3}{2}=6$ % дохода семьи.

Зарплата мамы составляет $100-63-6=100-69=31$ % дохода семьи.

Ответ: 31%.

Тренировочные задания

Имеются два сосуда, содержащие 24 кг и 26 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
Смешали некоторое количество 30-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 58-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Имеется два сплава с разным содержанием золота: в первом содержится 50%, а во втором – 80% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% золота?
При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 48%, получился раствор с концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 30%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 45% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 28%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 80 кг высушенных фруктов?
Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные — 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 45 кг высушенных фруктов?
Свежие фрукты содержат 89% воды, а высушенные — 23%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 23 кг высушенных фруктов?
Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 21 кг высушенных фруктов?
Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
Свежие фрукты содержат 95% воды, а высушенные — 22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 55 кг высушенных фруктов?
Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные — 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 6 кг высушенных фруктов?
Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?
Свежие фрукты содержат 81% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?
Три одинаковые рубашки дешевле куртки на 10 %. На сколько процентов четыре такие же рубашки дороже куртки?
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 54%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вчетверо, общий доход семьи вырос бы на 204%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 6%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?