Перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1 и С1 на прямые ВС, СА и АВ соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
A1C2-A1B2+C1B2-C1A2+B1A2-B1C2=0.
Следствие:
Перпендикуляры, опущенные из А1, В1, С1 на BC, АС, AВ соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда перпендикуляры, опущенные из А, В, С на В1С1, А1С1, A1B1 соответственно, пересекаются в одной точке.
Задача 1. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Задача 2. Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.
Задача 3. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O.
Докажите, что AM2 − MO2 = DN2 − NO2.
Задача 4. Даны три попарно пересекающиеся окружности.
Докажите, что три общие хорды этих окружностей проходят через одну точку.
Задача 5. К каждой стороне треугольника провели перпендикуляр в точке касания данной стороны с вневписанной окружностью.
Докажите, что три этих перпендикуляра пересекаются в одной точке.
Задача 6. Вневписанные окружности треугольника ABC касаются сторон BC, AC и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно.
Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно A1, B1 и C1, пересекаются в одной точке.
Задача 7. Дан правильный треугольник ABC и произвольная точка D. Точки A1, B1 и C1 — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD, CAD и ABD соответственно.
Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин A, B и C на прямые соответственно B1C1, A1C1 и A1B1, пересекаются в одной точке.
Задача 8. Треугольник ABC правильный, P — произвольная точка. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вписанных окружностей треугольников PAB, PBC и PCA на прямые AB, BC и CA, пересекаются в одной точке.
Задача 9. Прямые, проведенные через вершины треугольника ABC параллельно соответствующим сторонам треугольника A1B1C1, пересекаются в одной точке.
Докажите, что прямые, проведенные через вершины треугольника A1B1C1 параллельно соответствующим сторонам треугольника ABC, тоже пересекаются в одной точке.
Задача 10. Перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника ABC на соответствующие стороны треугольника A1B1C1, пересекаются в одной точке.
Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника A1B1C1 на соответствующие стороны треугольника ABC, тоже пересекаются в одной точке.