Теорема.
Три чевианы, соединяющие вершины треугольника с точками пересечения вписанной окружности и сторон треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство.
Пусть D, E, F — точки пересечения вписанной окружности и сторон треугольника BC, AC и AB соответственно.
AF=AE, BF=BD, CD=CE (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, к окружности).
Следовательно:
По теореме Чевы отрезки AD, BE и СF пересекаются в одной точке.
Точка Жергонна — точка пересечения чевиан треугольника, соединяющих вершины треугольника с точками пересечения вписанной окружности и сторон треугольника.
Теорема Жергонна.
Пусть G — точка Жергонна треугольника ABC и D, E, F — точки пересечения вписанной окружности и сторон треугольника BC, AC и AB соответственно. Тогда выполняются следующие равенства:
