Трапеция — Царство математики

Определение и виды трапеции

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие — боковыми сторонами.

Трапеции бывают прямоугольные, равнобедренные, и просто трапеции общего вида.

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.

Трапеция называется прямоугольной, если у нее два угла прямые.

Основные свойства трапеции

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
Средняя линия трапеция параллельна её основаниям и равна их полусумме.
В любой трапеции следующие точки лежат на одной прямой: точка пересечения продолжений боковых сторон, середины оснований и точка пересечения диагоналей.
Треугольники, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Треугольники, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
Если сумма углов, при любом основании трапеции, равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Биссектриса любого угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник.
Биссектрисы углов, при боковой стороне трапеции, перпендикулярны.
Если в трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Отрезок, заключенный между боковых сторон трапеции, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения ее диагоналей — среднее гармоническое оснований трапеции.

Свойства равнобедренной трапеции

Диагонали равны;
Углы при основании равны;
Сумма противоположных углов равна 180°;
Около равнобедренной трапеции можно описать окружность;
Высота, опущенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на два отрезка, больший из которых равен полусумме оснований, а меньший — полуразности оснований.

Признаки равнобедренной трапеции

Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная;
Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Описанная трапеция

Описанная трапеция в геометрии — это трапеция, описанная около окружности. Особенность — все четыре вершины лежат на окружности.

Если вокруг трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная;
Радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому длин отрезков, на которые радиус вписанной окружности делит боковую сторону, точкой касания;
Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции.

Вписанная трапеция

Вписанная трапеция — трапеция, в которую можно вписать окружность.

В трапецию можно вписать в окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь трапеции

Формула площади трапеции через основания и высоту: $S=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h;$
Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними: $S=\frac{1}{2}\cdot d_1 \cdot d_2\cdot\sin{\alpha.}$