Вероятность: основные типы заданий ОГЭ (разбор прототипов). Часть 1.

На ОГЭ по математике вероятность встречается в заданиях базового уровня (обычно №10). Прототипы формируются ФИПИ и опираются на классическую формулу вероятности и простые комбинаторные ситуации. Ниже — типология задач, которая покрывает практически все варианты из открытого банка ФИПИ.

Ключевая формула

Классическая вероятность события $A$ :

$P(A) = \frac{m}{n}$

где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число равновозможных исходов.

Тип 1. «Предметы в коробке/пачке/мешке» (шары, ручки, батарейки, пирожки)

Это самый частый прототип. Дано общее количество предметов и количество «нужных» (или «не нужных»), требуется найти вероятность вытащить нужный.

Прототип ФИПИ: В коробке 12 ручек: 5 синих, 4 чёрных, остальные — красные. Какова вероятность вытащить красную ручку?
Решение: Всего ручек: $n = 12$ . Красных: $12 - 5 - 4 = 3$ , значит $m = 3$ .

$P = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0{,}25$

Типичная ошибка: перепутать «красную» с «не красной». Всегда внимательно читайте вопрос: «найти вероятность вытащить X» или «найти вероятность НЕ вытащить X».

Тип 2. «Лотерея/билеты/номера» (один выбор из набора)

Здесь тоже работает $P = m/n$ , но важно правильно понять, что считать благоприятным исходом.

Прототип ФИПИ: Из 50 билетов 5 выигрышных. Какова вероятность вытянуть выигрышный билет? Решение: $n = 50$ , $m = 5$ .

$P = \frac{5}{50} = \frac{1}{10} = 0{,}1$

Тип 3. «Кубики» (игральные кости)

При броске одного кубика $n = 6$ . При броске двух кубиков $n = 6 \times 6 = 36$ , потому что каждый кубик независим и исходы вида $(1,2)$ и $(2,1)$ различны.

Прототип ФИПИ: Бросают два кубика. Какова вероятность, что сумма очков равна 8?

Способ 1: перечисление пар

Общее число исходов: $n = 36$ . Благоприятные пары для суммы 8: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ — всего $m = 5$ .

$P = \frac{5}{36}$

Способ 2: через таблицу исходов

Для двух кубиков удобно построить таблицу $6\times6$ , где строки — результат первого кубика, столбцы — второго, а в ячейках — сумма.

1-й / 2-й	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

В таблице жёлтым выделены ячейки, где сумма равна 8. Считаем их: ровно 5 ячеек. Всего ячеек (исходов): $6 \times 6 = 36$ . Тогда:

$P = \frac{5}{36}$

Ошибка: считать $(2,6)$ и $(6,2)$ одним исходом. На ОГЭ это приводит к неверному $n$ и неверной вероятности. Таблица наглядно показывает, что это разные ячейки.

Когда лучше использовать таблицу: когда нужно найти вероятность суммы, разности или другого условия, которое удобно «просканировать» по ячейкам. Особенно полезно, если в задаче несколько условий (например, «сумма больше 7 и при этом на первом кубике выпало нечётное число») — в таблице легко выделить пересечение условий.

Тип 4. «Монеты» (орёл/решка)

Один бросок монеты: $n=2$ . Два броска: $n=4$ (ОО, ОР, РО, РР). Три броска: $n=8$ . Удобно просто перечислить все исходы.

Прототип ФИПИ: Монету бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет орёл?
Решение: Все исходы: ОО, ОР, РО, РР ( $n=4$ ). Благоприятный: ОО ( $m=1$ ).

$P = \frac{1}{4} = 0{,}25$

Тип 5. «Выбор без возвращения» (два предмета подряд, колода карт, шары)

Если в задаче сказано «вынимают два предмета подряд без возвращения», то события зависимы. Здесь можно либо использовать условную вероятность, либо считать через сочетания.

Прототип ФИПИ (вариация): В коробке 4 белых и 6 чёрных шаров. Вынимают два шара без возвращения. Какова вероятность, что оба белые?
Способ 1 (через условную вероятность): Первый шар белый: $\frac{4}{10}$ . Второй шар белый при условии, что первый был белым: $\frac{3}{9}$ .

$P = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$

Способ 2 (через сочетания): Всего способов выбрать 2 шара из 10: $C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ . Способов выбрать 2 белых из 4: $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ .

$P = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$

Тип 6. «Хотя бы один» (противоположное событие)

Фраза «хотя бы один» — маркер, что проще решать через противоположное событие.

Если $A$ = «хотя бы одно попадание», тогда $\overline{A}$ = «ни одного попадания». События «хотя бы один успех» и «ни одного успеха» — противоположные, поэтому:

$P(A) + P(\overline{A}) = 1$

$P(A) = 1 - P(\overline{A})$

Прототип ФИПИ (аналог): Стрелок делает 2 выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле — $0{,}7$ . Какова вероятность, что он попадёт хотя бы раз?
Решение: Вероятность промаха при одном выстреле: $1 - 0{,}7 = 0{,}3$ . Вероятность двух промахов подряд: $0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$ . Тогда вероятность «хотя бы одно попадание»:

$P = 1 - 0{,}09 = 0{,}91$