Арифметический квадратный корень

Арифметический квадратный корень — одно из базовых понятий алгебры, которое встречается и в школе, и на экзаменах, и в прикладных задачах. В этой статье разберём, что это такое, какие у него свойства, как с ним работать и где он пригодится.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называют такое неотрицательное число $b$ , что $b^2 = a$ .

Обозначение: $\sqrt{a} = b$ , где $b \ge 0$ и $b^2 = a$ .

Основные свойства арифметического квадратного корня

Свойство 1: $\sqrt{a^2} = |a|$

Корень из квадрата числа равен модулю этого числа.

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$

$\sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$

Свойство 2: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при $a \ge 0$ , $b \ge 0$ )

Корень из произведения равен произведению корней. Это помогает упрощать выражения.

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{7 \cdot 9} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{9} = 3\sqrt{7}$

Свойство 3: $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (при $a \ge 0$ , $b > 0$ )

Корень из дроби равен дроби корней. Важно, чтобы знаменатель был положительным.

$\sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$

Свойство 4: $\sqrt{a^{2k}} = a^k$ (при $a \ge 0$ , $k \in \mathbb{N}$ )

Например:

$\sqrt{x^4} = x^2$ .
$\sqrt{y^6} = y^3$ при $y \ge 0$ .
$\sqrt{10^8} = 10^4 = 10\,000$ .

Практические приёмы, которые опираются на эти свойства

Вынесение множителя из-под корня

Используем свойство $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ , чтобы вытащить из-под корня полные квадраты.

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ .
$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ .
$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$ .

Внесение множителя под корень

Обратный приём: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ при $a \ge 0$ . Это полезно, например, для сравнения выражений.

$3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$ .
$2\sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$ .
Если нужно сравнить $3\sqrt{5}$ и $5\sqrt{2}$ , вносим множители под корень: $\sqrt{45}$ и $\sqrt{50}$ . Так как $45 < 50$ , то $3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}$ .

Избавление от иррациональности в знаменателе

Здесь используем свойство $\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$ , чтобы «убрать» корень из знаменателя.

$\dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$ .
$\dfrac{7}{\sqrt{7}} = \dfrac{7\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}} = \dfrac{7\sqrt{7}}{7} = \sqrt{7}$ .

Для выражений с суммой или разностью радикалов в знаменателе можно использовать домножение на сопряженное:

$\dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}.$
$\dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}= \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3}$

Тренажер по теме «Арифметический квадратный корень» (базовый уровень)

Тренажер по теме «Арифметический квадратный корень» (углублённый уровень)