Как решать экономические задачи на кредиты?

Пример 1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Решение.

Введем обозначение: $S$ – сумма кредита в рублях; $m=1+\frac{r}{100}$ .

1 случай:

Год	Долг на январь	Долг на июль
2021	$S \cdot m$	$S \cdot m - 58564$
2022	$(S \cdot m - 58564) \cdot m$	$Sm^2-58564m-58564$
2023	$(Sm^2-58564m-58564) \cdot m$	$Sm^3-58564m^2-58564m-58564$
2024	$(Sm^3-58564m^2-58564m-58564)\cdot m$	$Sm^4-58564m^3-58564m^2-58564m-58564=0$

2 случай:

Год	Долг на январь	Долг на июль
2021	$S \cdot m$	$S \cdot m - 106964$
2022	$(S \cdot m - 106964) \cdot m$	$Sm^2-106964m-106964=0$

Решим систему уравнений:

$\left\{\begin{matrix} Sm^4-58564m^3-58564m^2-58564m-58564=0\\ Sm^2-106964m-106964=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} S=106964\frac{m+1}{m^2}\\ \\ S=58564\frac{m^3+m^2+m+1}{m^4} \end{matrix}\right.$

$106964\frac{m+1}{m^2}=58564\frac{m^3+m^2+m+1}{m^4}$

$106964=58564\frac{m^2+1}{m^2}$

$106964m^2-58564m^2-58564=0$

$m^2=1,21$

$m=1,1$

Ответ: 10%.

Пример 2. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?

Решение.

Введем обозначение: S – сумма кредита в рублях.

По условию задачи составим таблицу:

Месяц	Долг на 1 число	Выплата	Долг на 15-ое число
Январь	—	—	$S$
Февраль	$S \cdot 1,02$	$S \cdot 0,02+\frac{S}{24}$	$S-\frac{S}{24}=\frac{23S}{24}$
Март	$\frac{23S}{24} \cdot 1,02$	$\frac{23S}{24}\cdot 0,02+\frac{S}{24}$	$\frac{23S}{24}-\frac{S}{24}=\frac{22S}{24}$
…	…	…	…
Январь	$\frac{13S}{24} \cdot 1,02$	$\frac{13S}{24}\cdot 0,02+\frac{S}{24}$	$\frac{12S}{24}$
…	…	…	…
Декабрь	$\frac{2S}{24} \cdot 1,02$	$\frac{2S}{24}\cdot 0,02+\frac{S}{24}$	$\frac{S}{24}$
Январь	$\frac{S}{24} \cdot 1,02$	$\frac{S}{24}\cdot 0,02+\frac{S}{24}$	0
Всего		1000 000

Составим и решим уравнение:

$S \cdot 0,02+\frac{S}{24}+\frac{23S}{24}\cdot 0,02+\frac{S}{24}+\ldots+\frac{S}{24}\cdot 0,02+\frac{S}{24}=1000 000$

$\frac{S}{24}\cdot 24+S \cdot 0,02 (\frac{24}{24}+\frac{23}{24}+\ldots+\frac{1}{24})=100 000$

$S+S \cdot 0,02 (\frac{24}{24}+\frac{23}{24}+\ldots+\frac{1}{24})=100 000$

$S+S \cdot 0,02 \cdot 12,5=100 000$

$S \cdot 1,25=100 000$

$S=800000$

Ответ: $800000$ рублей.

Пример 3. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Решение.

Пусть $S$ тысяч рублей — сумма, которую взяли в кредит.

Месяц	Долг до начисления процентов	Процент	Выплата
1	$S$	$0,03S$	$30+0,03S$
2	$S-30$	$0,03(S-30)$	$30+0,03(S-30)$
3	$S-60$	$0,03(S-60)$	$30+0,03(S-60)$
$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
20	$S-570$	$0,03(S-570)$	$30+0,03(S-570)$
21	$S-600$	$0,03(S-600)$	$S-600+0,03(S-600)$

Всего выплатили 1604 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:

$30+0,03S+30+(S-30)0,03+30+(S-60)0,03+\ldots+30+(S-570)0,03+S-600+(S-600)0,03=1604$

$600+1,63S-0,03(30+60+\ldots+570+600)-600=1604$

$1,63S=1604+0,03(30+600)10$

$1,63S=1604+189$

$1,63S=1793$

$S=1100$

Ответ: $1100$ тысяч рублей.

Пример 4.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Решение.

Найдем количество месяцев, на которые был взят кредит:

$1000-40n-200=0$

$40n=800$

$n=20$

$n+1=21$

Месяц	Долг до начисления процентов	Процент	Выплата
1	$1000$	$\frac{1000r}{100}$	$40+\frac{1000r}{100}$
2	$960$	$\frac{960r}{100}$	$40+\frac{960r}{100}$
3	$920$	$\frac{930r}{100}$	$40+\frac{930r}{100}$
$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
20	$240$	$\frac{240r}{100}$	$40+\frac{240r}{100}$
21	$200$	$\frac{200r}{100}$	$200+\frac{200r}{100}$

Всего выплатили $1378$ тысяч рублей. Составим и решим уравнение:

$40+\frac{1000r}{100}+40+\frac{960r}{100}+40+\frac{920r}{100}+\ldots+40+\frac{240r}{100}+\frac{200r}{100}+200=1378$

$800+\frac{r}{100}(1000+960+920+\ldots+240+200)+200=1378$

$12600\frac{r}{100}=378$

$r=3$

Ответ: 3%.

2 Комментарий

Новые

Старые Популярные

Межтекстовые Отзывы

Посмотреть все комментарии

Анастасия Щеколдина

Автор

Ответить на Николай

5 лет назад

В условии задачи написано: «— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.»

Николай

6 лет назад

В первом варианте в кредит взяли 1100 единиц.
В течении 20 периодов основной долг уменьшаем на 30 ед в периоде. Всего уменьшаем долг на 600 единиц.
И по решению задачи считаем что на 21 период весь долг погашен,
Как-то странно. Или с постановкой задачи что-то не так. Например весь остаток долга выплачиваем в 21-м периоде — но условие задачи, как оно сформулировано, это не предполагает.