Теорема.
Доказательство.
Представим как произведение скобок:
Для нахождения произведения надо из каждой скобки взять по одной переменной, перемножить взятые переменные друг с другом и полученные мономы сложить. Пусть — количество скобок, из которых мы возьмем
,
— количество скобок, из которых мы возьмем
— количество скобок, из которых мы возьмем
. Мы получим моном:
.
Ясно, что и
Посчитаем количество способов, которыми можно получить данный моном. Количество способов выбрать из
скобок равно
. Количество способов выбрать
из
скобок равно
. Продолжая аналогичные рассуждения, получаем, что моном
можно получить следующее количество раз:
Теорема доказана.
Пример 1. Раскройте скобки .
Решение.
Ответ:
Пример 2. Найдите коэффициент при после раскрытия скобок в выражении
.
Ответ: 5.
Тренировочные задания
- Найдите разложение бинома
;
- Найдите разложение полинома
;
- Найдите разложение полинома
;
- Раскройте скобки в выражении
;
- Раскройте скобки в выражении
;
- Раскройте скобки в выражении
;
- Найдите разложение полинома
;
- Найдите разложение полинома
;
- Найдите коэффициент при
после раскрытия скобок в выражении
;
- Найдите коэффициент при
после раскрытия скобок в выражении
.
Как решить это упражнение
(2х^4-4х^3-5х^5-5):(х^2+2)