Прямая Симсона.

Теорема.

Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой.

Эта прямая называется прямой Симсона.

Доказательство.

Четырехугольник AEFD — вписанный в окружность с диаметром AD, так как ∠AED=∠AFD=90°. Следовательно, ∠AFE=∠ADE.

Четырехугольник DFCG — вписанный, так как ∠DFC+∠DGC=180°. Следовательно, ∠CFG=∠CDG.

∠BAD+∠DCB=180° (свойство вписанного четырехугольника ABCD).

∠DCG=180°-∠DCB (свойство смежных углов).

Следовательно, ∠EAD=∠BAD=180°-∠DCB=∠DCG.

90°-∠CFG=90°-∠CDG=∠DCG=∠EAD=90°-∠ADE=90°-∠AFE.

Итак, ∠CFG=∠AFE. Следовательно, E, F, G лежат на одной прямой.