Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 2 сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, а во второй – 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?
Чтобы решить данную задачу, нужно знать принципы сложения вероятностей. Событие “попадание в первый сектор” и “попадание во второй сектор” несовместны, так как попадание в 1 сектор исключает попадание во второй.
Так как в вопросе союз либо, значит нужно найти сумму вероятностей двух событий. Суммой, или объединением, двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+B)=P(A)+P(B).
Следовательно, P(A+B)=0,3+0,4=0,7.
Представим другую ситуацию: 2 спортсмена стреляют по 1 выстрелу в 1 мишень.
Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена равна 0,3, а для второго – 0,4. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?
События “попадание первого спортсмена” и “попадание второго спортсмена” совместны, так как попадание первого спортсмена не исключает попадание второго. Нужно найти вероятность, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен. Значит, мы опять имеем дело с суммой вероятностей. Введем обозначения: A=”попадание первого спортсмена” и B=”попадание второго спортсмена”.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
Так как события A и B независимы друг от друга, то для них верна формула произведения двух независимых событий:
P(AB)=P(A)P(B).
В общем случае, вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(A1…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
Подставим значения и решим задачу: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0,3+0,4-0,3•0,4=0,58.
Сверху рассматривалась формула произведения вероятностей независимых событий, а что же делать, если события зависимы?
Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:
P(AB)=P(A)P(B/A) или P(AB)=P(B)P(A/B).
Событие B не зависит от события A, если P(B/A)=P(B), т.е. вероятность события B не зависит от того, произошло ли событие A.
Вероятность произведения n событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:
P(A1…An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A2A1)…P(An/A1…An-1).
Рассмотрим следующий пример:
В урне 6 голубых, 5 красных и 4 белых шара. Из урны поочередно извлекают шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом извлечении появится голубой шар(событие G), при втором – красный(событие R), при третьем – белый(событие W).
Решение:
Вероятность появления голубого шара при первом извлечении равна 6/(6+5+4)=6/15=2/5.
Вероятность появления красного шара во втором извлечении, вычисленная в предположении, что первым достали голубой шар, равна 5/(15-1)=5/14.
Вероятность появления белого шара, при условии, что 1 голубой и 1 красный уже достали, равна 4/(15-2)=4/13.
Так как нам нужно, чтобы все эти 3 события были истинны, то воспользуемся формулой произведения вероятностей.
P(G,R,W)=P(G)P(R/G)P(W/GR)=(2/5)(5/14)(4/13)=40/910≈0,044
Ответ: 0,044.
Замечание:
Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле:
P(A1+A2+…+An )=1-P(B1·B2·…·Bn ),
где B1,B2,…,Bn – это противоположные события событиям A1,A2,…,An.
В частности, если события A1,A2,…,An независимы, то
P(A1+A2+…+An )=1-q1q2…qn.
Если независимые события A1,A2,…,An имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой P(A1+A2+…+An )=1-qn.
Решим задачу:
Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=0,75, p2=0,3, p3=0,7. Какова вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех этих орудий?
Решение:
События “попадание из первого орудия”(A1), “попадание из второго орудия”(A2) и “попадание из третьего орудия”(A3) независимы в совокупности, так как вероятность попадания в цель из одного орудия не зависит от попадания в цель из других орудий.
Искомую вероятность найдем, подставив значения в формулу: P(A1+A2+A3 )=1-q1q2q3. Для того, чтобы её использовать, нужно найти вероятности событий, противоположных событиям A1,A2,A3.
q1=1-A1=1-0,75=0,25,
q2=1-A2=1-0,3=0,7,
q3=1-A3=1-0,7=0,3.
Подставляя в формулу найденные значения q1, q2, q3, находим P(A1+A2+A3 )=1-q1q2q3=1-0,25·0,7·0,3=0,9475.
Ответ: 0,9475.
В данной статье были рассмотрены на конкретных примерах теоремы сложения и умножения вероятностей. В частности: теоремы сложения вероятностей совместных, несовместных событий; теоремы произведения независимых и зависимых событий.
Спасибо за замечание!
Подставим значения и решим задачу: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0,3+0,4+0,3•0,4=0,82.
Неправильно посчитано вычитаем 0.7-0.12 = 0.58