Признаки делимости

Если последняя цифра в записи натурального числа 0, 2, 4, 6 или 8, то это число делится на 2 без остатка. Если последняя цифра натурального числа нечетная (1, 3, 5, 7, 9), то число на 2 без остатка не делится.

Примеры:

• 87654 делится на 2, так как последняя цифра 4;
• 876543 не делится на 2, так как последняя цифра 3.

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние цифры этого числа образуют число, которое делится на 4.

Примеры:

• 3200 делится на 4, так как 0 делится на 4;
• 4808 делится на 4, так как 8 делится на 4;
• 3453 не делится на 4, так как 53 не делится на 4.

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три последние цифры этого числа образуют число, которое делится на 8.

Примеры:

• 32800 делится на 8, так как 800 делится на 8;
• 48043 не делится на, 8 так как 43  не делится на 8.

Число делится на 2ⁿ (n — натуральное число) тогда и только тогда, когда n последних цифр этого числа образуют число, которое делится на 2ⁿ.

Пример:

• 45686400 делится на 16, так как 6400 делится на 16;
• 67832000 делится на 32, так как 32000  делится на 32.

Натуральное число делится на 5 без остатка в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5.  Если последняя цифра натурального числа не 0 и не 5,  то число на 5 без остатка не делится.

Примеры:

• 4560 делится на 5, так как оканчивается на 0;
• 48043 не делится на 5, так как оканчивается на 3.

Натуральное число делится на 10 без остатка только в том случае, если оно оканчивается на нуль. Если последняя цифра натурального числа не 0, то число на 10 без остатка не делится.

Примеры:

• 4560 делится на 10, так как оканчивается на 0;
• 623 не делится на 10, так как не оканчивается на 0.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 3.

Примеры:

• 345 делится на 3, так как 3+4+5=12 делится на 3;
• 223 не делится на 3, так как 2+2+3=7 не делится на 3.

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 9.

Примеры:

• 345 не делится на 9, так как 3+4+5=12  не делится на 9;
• 65223 делится на 9, так как 6+5+2+2+3=18 делится на 9.

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Примеры:

• 357 делится на 7, так как 35-2·7=21 делится на 7;
• 223 не делится на 7, так как 22-2·3=16 не делится на 7.

Число делится на 11 тогда, когда сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на число, которое делится на 11.

Примеры:

• 3597 делится на 11, так как 3+9=7+5;
• 2243 не делится на 11, так как 2+4≠2+3.

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма десятков и единиц увеличенных в 4 раза кратна 13.

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда модуль разности числа, которое образовано тремя последними цифрами, и числа, которое образовано из оставшихся цифр, кратен 13.

Примеры:

• 234 делится на 13, так как 23+4·4=39 делится на 13;
• 4292288 делится на 13, так как 4292-288=4004, а 4—4=0 делится на 13.