Текстовые задачи с экономическим содержанием на ЕГЭ. Вклады.

Задача 1. Мария Сергеевна планирует накопить на машину. Для этого она открыла вклад на четыре года по ставке 10% годовых. Выплата процентов раз в год. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером на начало года. Первоначальный вклад составил 300 000 рублей. Каждый месяц Мария Сергеевна планирует класть n рублей на вклад. Какую наименьшую целую сумму ей необходимо класть на вклад каждый месяц, чтобы через четыре года вклад был более 3 млн рублей?

Решение.

Распишем, что будет происходить с вкладом в первый год. Сначала на вкладе находится $300000$ , каждый месяц к первоначальной сумме прибавляется n рублей. Под конец 12 месяца на вкладе будет: $300000+12 \cdot n$ рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером на начало года, поэтому на начало второго года на вкладе будет: $(300000+12 \cdot n)\cdot 1,1$ рублей.

На начало третьего: $((300000+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1.$

На начало четвертого: $(((300000+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1.$

На начало пятого: $((((300000+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1.$

Необходимо, чтобы через четыре года вклад был более 3 млн рублей.

$((((300000+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1>3000000$

$300000\cdot 1,1^4+12n\cdot(1,1^4+1,1^3+1,1^2+1,1)>3000000$

$12n\cdot(1,1^4+1,1^3+1,1^2+1,1)>3000000-439 230$

Замечаем, что в скобках находится сумма геометрической прогрессии с первым членом 1,1 и знаменателем 1,1.

$12n\cdot 1,1\cdot\frac{1,1^4-1}{1,1-1}>2 560 770$

$n\cdot 1,1\cdot\frac{0,4641}{0,1}>213 397,5$

$n\cdot 1,1\cdot 4,641>213 397,5$

$n>41 800,8462$

$n$ — наименьшее целое число, большее 41 800. Следовательно, n=41 801.

Ответ: $41 801$ .

Задача 2. Средняя зарплата Алексея 50000 рублей в месяц. Он решил каждый месяц 10 числа откладывать 10% своей зарплаты на вклад под 13% годовых. Выплата процентов раз в год. В конце каждого года вклад увеличивается на 13% по сравнению с его размером на начало года. Сколько рублей будет на вкладе у Алексея через 10 лет, если первоначальная сумма вклада равнялась 100000 рублей и открыл он его 1 числа? Результат округлите до целого числа с недостатком.

Решение.

Найдем 10% от средней зарплаты Алексея: $50 000\cdot0,1=5000.$